Номер 2, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Построили в одной системе координат графики функций $y = x^2$, $y = x + 2$.

Для решения задачи необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: параболы $y=x^2$ и прямой $y=x+2$, а также найти их точки пересечения аналитически.

Функция $y = x^2$ — это квадратичная функция. Её графиком является парабола. Для её построения определим ключевые характеристики и точки:

• Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.
• Парабола симметрична относительно оси ординат ($Oy$).

Чтобы построить график более точно, составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим график параболы.

Ответ: Графиком функции $y=x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх, проходящая через точки $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(-2, 4)$, $(2, 4)$ и т.д.

Функция $y = x + 2$ — это линейная функция. Её графиком является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек.

Удобнее всего найти точки пересечения прямой с осями координат:

• Чтобы найти точку пересечения с осью $Oy$, подставим $x = 0$: $y = 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
• Чтобы найти точку пересечения с осью $Ox$, подставим $y = 0$: $0 = x + 2$, откуда $x = -2$. Получаем точку $(-2, 0)$.

Отмечаем точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$ на той же координатной плоскости и проводим через них прямую линию.

Ответ: Графиком функции $y=x+2$ является прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков, нужно решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}$

Поскольку левые части уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-2$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Мы нашли абсциссы ($x$) точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив эти значения $x$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой $y = x + 2$.

• При $x_1 = 2$, $y_1 = 2 + 2 = 4$. Первая точка пересечения — $(2, 4)$.
• При $x_2 = -1$, $y_2 = -1 + 2 = 1$. Вторая точка пересечения — $(-1, 1)$.

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Ответ: Графики функций пересекаются в двух точках: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.