Номер 3, страница 196, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Установите, используя графический метод, сколько корней имеет уравнение:

а) $x^2 + x - 4 = 0$;

б) $x^2 + x + 4 = 0$.

а) Для того чтобы графически определить количество корней уравнения $x^2 + x - 4 = 0$, представим его в виде равенства двух функций. Перенесём слагаемые, содержащие $x$ и свободный член, в правую часть уравнения: $x^2 = -x + 4$.
Теперь задача сводится к нахождению числа точек пересечения графиков двух функций:
1. $y_1 = x^2$ — это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$.
2. $y_2 = -x + 4$ — это прямая. Для её построения найдём координаты двух точек. При $x = 0$, $y_2 = 4$. При $y_2 = 0$, $x = 4$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.
Построим эскизы этих графиков в одной системе координат. Парабола $y=x^2$ имеет вершину в начале координат. Прямая $y = -x + 4$ пересекает ось ординат в точке $(0, 4)$, которая находится выше вершины параболы, и проходит через точку $(4, 0)$. Поскольку прямая "проходит сквозь" параболу, очевидно, что графики будут иметь две точки пересечения.
Число точек пересечения графиков соответствует числу корней исходного уравнения. Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2 корня.

б) Для уравнения $x^2 + x + 4 = 0$ применим тот же метод. Преобразуем уравнение: $x^2 = -x - 4$.
Нам нужно найти количество точек пересечения графиков функций:
1. $y_1 = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.
2. $y_2 = -x - 4$ — прямая. Найдём две точки для её построения. При $x = 0$, $y_2 = -4$. При $y_2 = 0$, $x = -4$. Прямая проходит через точки $(0, -4)$ и $(-4, 0)$.
Построим эскизы графиков. График функции $y_1 = x^2$ полностью лежит в верхней полуплоскости (включая начало координат), так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Прямая $y_2 = -x - 4$ пересекает ось ординат в точке $(0, -4)$, которая находится под осью абсцисс. Чтобы проверить, пересекает ли прямая параболу, можно сравнить их значения. Минимальное значение функции $y_1=x^2$ равно 0. Можно проверить, всегда ли парабола находится "выше" прямой. Для этого рассмотрим разность $y_1 - y_2 = x^2 - (-x-4) = x^2+x+4$. Это выражение описывает параболу, ветви которой направлены вверх, а её вершина (точка минимума) находится при $x = -1/2$. Минимальное значение этой разности составляет $(-1/2)^2 + (-1/2) + 4 = 1/4 - 1/2 + 4 = 3.75$. Поскольку минимальное расстояние по вертикали между графиками положительно, они никогда не пересекаются.
Так как графики функций $y = x^2$ и $y = -x - 4$ не имеют точек пересечения, исходное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: 0 корней.