Страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Перечислите все функции, которые вы изучили в курсе алге- бры 7-го класса.

1. В курсе алгебры 7-го класса подробно изучается линейная функция и ее частные случаи. Иногда также происходит первое знакомство с простейшей квадратичной функцией.

Вот перечень этих функций:

• Линейная функция

  Это основная функция, изучаемая в 7-м классе. Она задается формулой вида $y = kx + b$.

  • В этой формуле $x$ — это независимая переменная или аргумент, а $y$ — зависимая переменная или значение функции.
  • $k$ и $b$ — это числовые коэффициенты. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и отвечает за угол наклона графика. Если $k > 0$, функция возрастает; если $k < 0$ — убывает. Коэффициент $b$ показывает ординату точки, в которой график пересекает ось $Oy$.
  • Графиком линейной функции является прямая.

• Прямая пропорциональность

  Это частный случай линейной функции, у которой коэффициент $b=0$. Формула имеет вид $y = kx$.

  • Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат (точку $(0, 0)$).

• Постоянная функция

  Это еще один частный случай линейной функции, у которой угловой коэффициент $k=0$. Формула имеет вид $y = b$.

  • При любом значении $x$ значение функции $y$ остается постоянным и равным $b$.
  • Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс $Ox$ и проходящая через точку $(0, b)$.

• Функция $y = x^2$

  В рамках некоторых учебных программ в 7-м классе также рассматривается функция $y = x^2$, которая является простейшим примером квадратичной функции.

  • Графиком этой функции является кривая, называемая параболой. Ее вершина находится в начале координат, а ветви направлены вверх.

Ответ: Основные функции, изучаемые в курсе алгебры 7-го класса: линейная функция ($y=kx+b$), прямая пропорциональность ($y=kx$), постоянная функция ($y=b$). Также возможно изучение функции $y=x^2$.

2. Что нужно сделать, чтобы графически решить уравнение вида $x^2 = kx + m$? Прокомментируйте свой ответ на примере решения уравнения $x^2 = 2x + 3$.

Чтобы графически решить уравнение вида $x^2 = kx + m$, нужно:

1. Рассмотреть данное уравнение как равенство значений двух функций: левой части $y = x^2$ и правой части $y = kx + m$.

2. Построить в одной прямоугольной системе координат графики этих двух функций.

- Графиком функции $y = x^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат $(0, 0)$.

- Графиком функции $y = kx + m$ является прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек.

3. Найти точки пересечения построенных графиков.

4. Абсциссы (координаты $x$) этих точек пересечения являются решениями (корнями) исходного уравнения. Количество точек пересечения соответствует количеству действительных корней уравнения.

Прокомментируем на примере решения уравнения $x^2 = 2x + 3$:

Следуя описанному алгоритму, решим графически уравнение $x^2 = 2x + 3$.

1. Введём две функции: $y = x^2$ и $y = 2x + 3$.

2. Построим их графики в одной системе координат.

- Для построения параболы $y = x^2$ составим таблицу значений:

$x$-2-10123
$y$410149

- Для построения прямой $y = 2x + 3$ найдем две точки:

- если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.

- если $x = -1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(-1, 1)$.

3. Построив графики параболы и прямой, находим их точки пересечения. Видно, что графики пересекаются в двух точках: $A(-1, 1)$ и $B(3, 9)$.

4. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Ответ: Чтобы графически решить уравнение вида $x^2 = kx + m$, нужно в одной системе координат построить графики функций $y=x^2$ и $y=kx+m$. Абсциссы точек пересечения этих графиков являются решениями уравнения. Для уравнения $x^2 = 2x + 3$ решениями являются абсциссы точек пересечения параболы $y=x^2$ и прямой $y=2x+3$, то есть $x = -1$ и $x = 3$.

3. Установите, используя графический метод, сколько корней имеет уравнение:

а) $x^2 + x - 4 = 0$;

б) $x^2 + x + 4 = 0$.

а) Для того чтобы графически определить количество корней уравнения $x^2 + x - 4 = 0$, представим его в виде равенства двух функций. Перенесём слагаемые, содержащие $x$ и свободный член, в правую часть уравнения: $x^2 = -x + 4$.
Теперь задача сводится к нахождению числа точек пересечения графиков двух функций:
1. $y_1 = x^2$ — это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$.
2. $y_2 = -x + 4$ — это прямая. Для её построения найдём координаты двух точек. При $x = 0$, $y_2 = 4$. При $y_2 = 0$, $x = 4$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.
Построим эскизы этих графиков в одной системе координат. Парабола $y=x^2$ имеет вершину в начале координат. Прямая $y = -x + 4$ пересекает ось ординат в точке $(0, 4)$, которая находится выше вершины параболы, и проходит через точку $(4, 0)$. Поскольку прямая "проходит сквозь" параболу, очевидно, что графики будут иметь две точки пересечения.
Число точек пересечения графиков соответствует числу корней исходного уравнения. Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2 корня.

б) Для уравнения $x^2 + x + 4 = 0$ применим тот же метод. Преобразуем уравнение: $x^2 = -x - 4$.
Нам нужно найти количество точек пересечения графиков функций:
1. $y_1 = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.
2. $y_2 = -x - 4$ — прямая. Найдём две точки для её построения. При $x = 0$, $y_2 = -4$. При $y_2 = 0$, $x = -4$. Прямая проходит через точки $(0, -4)$ и $(-4, 0)$.
Построим эскизы графиков. График функции $y_1 = x^2$ полностью лежит в верхней полуплоскости (включая начало координат), так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Прямая $y_2 = -x - 4$ пересекает ось ординат в точке $(0, -4)$, которая находится под осью абсцисс. Чтобы проверить, пересекает ли прямая параболу, можно сравнить их значения. Минимальное значение функции $y_1=x^2$ равно 0. Можно проверить, всегда ли парабола находится "выше" прямой. Для этого рассмотрим разность $y_1 - y_2 = x^2 - (-x-4) = x^2+x+4$. Это выражение описывает параболу, ветви которой направлены вверх, а её вершина (точка минимума) находится при $x = -1/2$. Минимальное значение этой разности составляет $(-1/2)^2 + (-1/2) + 4 = 1/4 - 1/2 + 4 = 3.75$. Поскольку минимальное расстояние по вертикали между графиками положительно, они никогда не пересекаются.
Так как графики функций $y = x^2$ и $y = -x - 4$ не имеют точек пересечения, исходное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: 0 корней.

Найдите точки пересечения параболы и прямой:

44.28 а) $y = x^2$ и $y = 1$;

б) $y = -x^2$ и $y = -9$;

в) $y = x^2$ и $y = 4$;

г) $y = -x^2$ и $y = 0$.

а) Чтобы найти точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 1$, необходимо решить систему этих двух уравнений. Так как в точках пересечения $y$-координаты совпадают, мы можем приравнять правые части уравнений:

$x^2 = 1$

Это квадратное уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{1} = 1$

$x_2 = -\sqrt{1} = -1$

Для каждого из этих значений $x$ координата $y$ равна $1$. Таким образом, мы получаем две точки пересечения.

Ответ: $(-1, 1), (1, 1)$.

б) Для нахождения точек пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = -9$ действуем аналогично.

Приравниваем правые части уравнений:

$-x^2 = -9$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от знака минус:

$x^2 = 9$

Находим корни этого уравнения:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Координата $y$ для обеих точек равна $-9$. Следовательно, точки пересечения — это $(-3, -9)$ и $(3, -9)$.

Ответ: $(-3, -9), (3, -9)$.

в) Найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4$.

Приравниваем правые части уравнений:

$x^2 = 4$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x_1 = \sqrt{4} = 2$

$x_2 = -\sqrt{4} = -2$

Координата $y$ для обеих точек равна $4$. Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: $(-2, 4), (2, 4)$.

г) Найдем точку пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = 0$.

Приравниваем правые части уравнений:

$-x^2 = 0$

Это уравнение имеет один корень:

$x = 0$

Координата $y$ для этой точки также равна $0$. В данном случае прямая $y=0$ (ось абсцисс) является касательной к параболе в ее вершине. Таким образом, существует только одна точка пересечения.

Ответ: $(0, 0)$.

44.29 a) $y = x^2$ и $y = 2x$;

б) $y = -x^2$ и $y = -3x$;

в) $y = x^2$ и $y = -x$;

г) $y = -x^2$ и $y = x$.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 2x$, необходимо найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x^2 = 2x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы $x$:
$x_1 = 0$
или
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
Теперь найдем соответствующие значения ординаты $y$ для каждой найденной абсциссы, подставив их в любое из исходных уравнений (например, в $y = 2x$):
При $x_1 = 0$: $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Первая точка пересечения — $(0; 0)$.
При $x_2 = 2$: $y_2 = 2 \cdot 2 = 4$. Вторая точка пересечения — $(2; 4)$.
Ответ: (0; 0), (2; 4).

б) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = -3x$ приравняем их правые части:
$-x^2 = -3x$
Умножим обе части уравнения на $-1$ и перенесем все члены в левую часть:
$x^2 = 3x$
$x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 3) = 0$
Находим абсциссы точек пересечения:
$x_1 = 0$
или
$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$
Теперь найдем соответствующие ординаты $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = -3x$:
При $x_1 = 0$: $y_1 = -3 \cdot 0 = 0$. Первая точка — $(0; 0)$.
При $x_2 = 3$: $y_2 = -3 \cdot 3 = -9$. Вторая точка — $(3; -9)$.
Ответ: (0; 0), (3; -9).

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = -x$, приравняем их правые части:
$x^2 = -x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^2 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Находим абсциссы точек пересечения:
$x_1 = 0$
или
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
Теперь найдем соответствующие ординаты $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = -x$:
При $x_1 = 0$: $y_1 = -(0) = 0$. Первая точка — $(0; 0)$.
При $x_2 = -1$: $y_2 = -(-1) = 1$. Вторая точка — $(-1; 1)$.
Ответ: (0; 0), (-1; 1).

г) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = x$ приравняем их правые части:
$-x^2 = x$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, например, в правую:
$0 = x^2 + x$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Находим абсциссы точек пересечения:
$x_1 = 0$
или
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
Теперь найдем соответствующие ординаты $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = x$:
При $x_1 = 0$: $y_1 = 0$. Первая точка — $(0; 0)$.
При $x_2 = -1$: $y_2 = -1$. Вторая точка — $(-1; -1)$.
Ответ: (0; 0), (-1; -1).

44.30 а) $y = x^2$ и $y = x + 2$;

б) $y = -x^2$ и $y = -x - 6$;

в) $y = x^2$ и $y = -x + 6$;

г) $y = -x^2$ и $y = x - 2$.

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение относительно переменной $x$. Найденные значения $x$ затем подставляются в любую из исходных функций для нахождения соответствующих значений $y$.

а) Даны функции $y = x^2$ и $y = x + 2$.

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Подбором находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$.

Для $x_1 = 2$, используя уравнение $y = x + 2$:

$y_1 = 2 + 2 = 4$

Первая точка пересечения: $(2, 4)$.

Для $x_2 = -1$, используя то же уравнение:

$y_2 = -1 + 2 = 1$

Вторая точка пересечения: $(-1, 1)$.

Ответ: $(2, 4)$, $(-1, 1)$.

б) Даны функции $y = -x^2$ и $y = -x - 6$.

Приравняем правые части уравнений:

$-x^2 = -x - 6$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = x^2 - x - 6$

Решим уравнение $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

Найдем соответствующие значения $y$.

Для $x_1 = 3$, используя уравнение $y = -x^2$:

$y_1 = -(3)^2 = -9$

Первая точка пересечения: $(3, -9)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = -(-2)^2 = -4$

Вторая точка пересечения: $(-2, -4)$.

Ответ: $(3, -9)$, $(-2, -4)$.

в) Даны функции $y = x^2$ и $y = -x + 6$.

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 = -x + 6$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -3$

Найдем соответствующие значения $y$.

Для $x_1 = 2$, используя уравнение $y = x^2$:

$y_1 = 2^2 = 4$

Первая точка пересечения: $(2, 4)$.

Для $x_2 = -3$:

$y_2 = (-3)^2 = 9$

Вторая точка пересечения: $(-3, 9)$.

Ответ: $(2, 4)$, $(-3, 9)$.

г) Даны функции $y = -x^2$ и $y = x - 2$.

Приравняем правые части уравнений:

$-x^2 = x - 2$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = x^2 + x - 2$

Решим уравнение $x^2 + x - 2 = 0$ по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -2$

Найдем соответствующие значения $y$.

Для $x_1 = 1$, используя уравнение $y = x - 2$:

$y_1 = 1 - 2 = -1$

Первая точка пересечения: $(1, -1)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = -2 - 2 = -4$

Вторая точка пересечения: $(-2, -4)$.

Ответ: $(1, -1)$, $(-2, -4)$.

44.31 a) $y = x^2$ и $y = -2x + 3$;

б) $y = -x^2$ и $y = x + 5$;

в) $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$;

г) $y = x^2$ и $y = x - 3$.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = -2x + 3$, необходимо приравнять выражения для $y$:
$x^2 = -2x + 3$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Найдем корни.Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.Корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$
$x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любую из исходных функций, например, в $y = x^2$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 1^2 = 1$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = (-3)^2 = 9$.
Таким образом, точки пересечения графиков: $(1, 1)$ и $(-3, 9)$.
Ответ: $(1, 1)$, $(-3, 9)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = x + 5$, приравняем выражения для $y$:
$-x^2 = x + 5$
Перенесем все слагаемые в одну часть:
$x^2 + x + 5 = 0$
Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций не пересекаются.
Ответ: нет точек пересечения.

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$, приравняем выражения для $y$:
$-x^2 = 2x - 3$
Перенесем все слагаемые в одну часть:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Это уравнение идентично уравнению из пункта а). Его корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любую из исходных функций, например, в $y = -x^2$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = -(1)^2 = -1$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = -(-3)^2 = -9$.
Таким образом, точки пересечения графиков: $(1, -1)$ и $(-3, -9)$.
Ответ: $(1, -1)$, $(-3, -9)$.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x - 3$, приравняем выражения для $y$:
$x^2 = x - 3$
Перенесем все слагаемые в одну часть:
$x^2 - x + 3 = 0$
Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций не пересекаются.
Ответ: нет точек пересечения.

Постройте график функции $y = x^2$ на заданном промежутке:

44.32

a) $(1; 3)$;

б) $[-2; 2]$;

в) $(0; 2)$;

г) $[-2; -1]$.

Для построения графика функции $y = x^2$ на заданных промежутках, мы сначала определим ключевые точки (в основном, на концах промежутков) и затем соединим их плавной кривой, учитывая, что график является частью параболы с вершиной в точке $(0; 0)$.

а) (1; 3)

Требуется построить график функции $y = x^2$ на открытом интервале $(1; 3)$. Это означает, что переменная $x$ принимает значения строго больше 1 и строго меньше 3.

1. Найдем значения функции на границах интервала. Эти точки не будут принадлежать графику, поэтому на чертеже их принято отмечать "выколотыми" (пустыми) кружками.
При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Координаты граничной точки: $(1; 1)$.
При $x = 3$, $y = 3^2 = 9$. Координаты граничной точки: $(3; 9)$.

2. Найдем промежуточную точку для большей точности.
При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Точка $(2; 4)$ принадлежит графику.

3. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем выколотые точки $(1; 1)$ и $(3; 9)$. Затем проводим через них и точку $(2; 4)$ плавную кривую, которая является частью правой ветви параболы.

Ответ: Графиком функции $y = x^2$ на интервале $(1; 3)$ является дуга параболы, соединяющая точки $(1; 1)$ и $(3; 9)$, при этом сами эти точки на концах дуги не включаются в график (изображаются выколотыми).

б) [-2; 2]

Требуется построить график функции $y = x^2$ на замкнутом отрезке $[-2; 2]$. Это означает, что $x$ принимает значения от -2 до 2, включая сами числа -2 и 2.

1. Найдем значения функции на границах отрезка. Эти точки будут принадлежать графику, поэтому их отмечают закрашенными кружками.
При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Координаты граничной точки: $(-2; 4)$.
При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Координаты граничной точки: $(2; 4)$.

2. Найдем несколько ключевых промежуточных точек.
При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1; 1)$ принадлежит графику.
При $x = 0$ (вершина параболы), $y = 0^2 = 0$. Точка $(0; 0)$ принадлежит графику.
При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1; 1)$ принадлежит графику.

3. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем закрашенные точки $(-2; 4)$ и $(2; 4)$. Затем проводим через них и точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$ плавную кривую. График будет симметричен относительно оси OY.

Ответ: Графиком функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; 2]$ является часть параболы, включающая вершину в точке $(0; 0)$ и ограниченная точками $(-2; 4)$ и $(2; 4)$, которые также принадлежат графику.

в) (0; 2)

Требуется построить график функции $y = x^2$ на открытом интервале $(0; 2)$. Это означает, что $0 < x < 2$.

1. Найдем значения функции на границах интервала. Эти точки будут выколотыми.
При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Координаты граничной точки: $(0; 0)$.
При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Координаты граничной точки: $(2; 4)$.

2. Найдем промежуточную точку.
При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1; 1)$ принадлежит графику.

3. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем выколотые точки $(0; 0)$ (вершина параболы) и $(2; 4)$. Соединяем их плавной кривой, проходящей через точку $(1; 1)$. Это будет часть правой ветви параболы.

Ответ: Графиком функции $y = x^2$ на интервале $(0; 2)$ является дуга параболы, соединяющая точку $(0; 0)$ и точку $(2; 4)$. Обе граничные точки не принадлежат графику и изображаются выколотыми.

г) [-2; -1]

Требуется построить график функции $y = x^2$ на замкнутом отрезке $[-2; -1]$. Это означает, что $-2 \le x \le -1$.

1. Найдем значения функции на границах отрезка. Эти точки будут закрашенными.
При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Координаты граничной точки: $(-2; 4)$.
При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Координаты граничной точки: $(-1; 1)$.

2. Найдем промежуточную точку для наглядности.
При $x = -1.5$, $y = (-1.5)^2 = 2.25$. Точка $(-1.5; 2.25)$ принадлежит графику.

3. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем закрашенные точки $(-2; 4)$ и $(-1; 1)$. Соединяем их плавной кривой, которая является частью левой ветви параболы. На этом отрезке функция убывает.

Ответ: Графиком функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; -1]$ является дуга параболы, соединяющая точки $(-2; 4)$ и $(-1; 1)$. Обе граничные точки принадлежат графику.

44.33 a) $(-\infty; 1];$

б) $[2; +\infty);$

в) $(-1; +\infty);$

г) $(-\infty; 0).$

а) Данный числовой промежуток $(-\infty; 1]$ представляет собой множество всех действительных чисел от минус бесконечности до 1 включительно. Квадратная скобка `]` у числа 1 указывает на то, что граница промежутка (число 1) входит в него. Таким образом, этот промежуток описывается нестрогим неравенством, которому удовлетворяют все числа $x$, меньшие или равные 1.
Ответ: $x \le 1$.

б) Данный числовой промежуток $[2; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел от 2 включительно до плюс бесконечности. Квадратная скобка `[` у числа 2 указывает на то, что граница промежутка (число 2) входит в него. Таким образом, этот промежуток описывается нестрогим неравенством, которому удовлетворяют все числа $x$, большие или равные 2.
Ответ: $x \ge 2$.

в) Данный числовой промежуток $(-1; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел от -1 до плюс бесконечности. Круглая скобка `(` у числа -1 указывает на то, что граница промежутка (число -1) не входит в него. Таким образом, этот промежуток описывается строгим неравенством, которому удовлетворяют все числа $x$, строго большие -1.
Ответ: $x > -1$.

г) Данный числовой промежуток $(-\infty; 0)$ представляет собой множество всех действительных чисел от минус бесконечности до 0. Круглая скобка `)` у числа 0 указывает на то, что граница промежутка (число 0) не входит в него. Таким образом, этот промежуток описывается строгим неравенством, которому удовлетворяют все числа $x$, строго меньшие 0.
Ответ: $x < 0$.

44.34 a) $[0; 1);$

б) $(-1; 3];$

в) $(0; 3];$

г) $[1; 2).$

a) [0; 1]

Это обозначение используется для замкнутого числового промежутка, который также называют отрезком. Он включает в себя все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $0 \le x \le 1$. Квадратные скобки [ и ] означают, что обе граничные точки, то есть 0 и 1, принадлежат данному промежутку.
Ответ: множество всех действительных чисел от 0 до 1 включительно.

б) (-1; 3]

Это обозначение для числового полуинтервала. Он включает в себя все действительные числа $x$, которые строго больше -1 и при этом меньше или равны 3. Это можно записать в виде двойного неравенства $-1 < x \le 3$. Круглая скобка ( у левой границы означает, что число -1 не входит в промежуток (открытая граница), а квадратная скобка ] у правой границы означает, что число 3 входит в промежуток (закрытая граница).
Ответ: множество всех действительных чисел от -1 до 3, не включая -1, но включая 3.

в) (0; 3]

Это также полуинтервал. Он состоит из всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $0 < x \le 3$. Левая граница 0 не включена в промежуток, так как скобка круглая, а правая граница 3 включена, так как скобка квадратная.
Ответ: множество всех действительных чисел от 0 до 3, не включая 0, но включая 3.

г) [1; 2)

Это еще один тип полуинтервала. Он содержит все действительные числа $x$, которые больше или равны 1 и строго меньше 2. В виде неравенства это записывается как $1 \le x < 2$. Левая граница 1 принадлежит промежутку (квадратная скобка), а правая граница 2 — нет (круглая скобка).
Ответ: множество всех действительных чисел от 1 до 2, включая 1, но не включая 2.

Постройте график функции $y = -x^2$ на заданном промежутке:

44.35 а) $[-3; 0];

б) $[0; +\infty);

в) $(1; 3);

г) $(-\infty; -1).

Для построения графика функции $y = -x^2$ на различных промежутках, мы сначала проанализируем саму функцию. Это квадратичная функция, её график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный.

a) [-3; 0]

Промежуток $[-3; 0]$ является замкнутым отрезком, поэтому обе граничные точки будут включены в график. Для построения найдем значения функции в этих точках и нескольких промежуточных.
Вычислим координаты ключевых точек:
- при $x = -3$, $y = -(-3)^2 = -9$. Получаем точку $(-3, -9)$.
- при $x = -2$, $y = -(-2)^2 = -4$. Получаем точку $(-2, -4)$.
- при $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Получаем точку $(-1, -1)$.
- при $x = 0$, $y = -(0)^2 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
Соединив эти точки плавной линией, мы получим фрагмент левой ветви параболы. Так как отрезок замкнутый, точки $(-3, -9)$ и $(0, 0)$ на графике будут закрашенными.

Ответ: График функции на промежутке $[-3; 0]$ представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(-3, -9)$ и заканчивается в вершине параболы в точке $(0, 0)$. Обе конечные точки включены.

б) [0; +∞)

Промежуток $[0; +∞)$ — это луч, начинающийся в точке $x=0$. Граничная точка $x=0$ включена в промежуток (квадратная скобка).
Вычислим координаты начальной и нескольких других точек:
- при $x = 0$, $y = -(0)^2 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
- при $x = 1$, $y = -(1)^2 = -1$. Получаем точку $(1, -1)$.
- при $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$. Получаем точку $(2, -4)$.
- при $x = 3$, $y = -(3)^2 = -9$. Получаем точку $(3, -9)$.
График начинается в точке $(0, 0)$ (вершина параболы) и уходит вправо и вниз в бесконечность. Точка $(0, 0)$ включена и изображается закрашенным кружком.

Ответ: График функции на промежутке $[0; +∞)$ — это правая ветвь параболы, начинающаяся в вершине $(0, 0)$ (точка включена) и уходящая в бесконечность вправо и вниз.

в) (1; 3)

Промежуток $(1; 3)$ является открытым интервалом, поэтому обе граничные точки не будут включены в график.
Найдем значения функции на границах интервала. Эти точки будут "выколотыми".
- при $x = 1$, $y = -(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$ — выколотая.
- при $x = 3$, $y = -(3)^2 = -9$. Точка $(3, -9)$ — выколотая.
Для построения кривой найдем промежуточную точку:
- при $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$ принадлежит графику.
График — это дуга параболы между точками $(1, -1)$ и $(3, -9)$. Сами эти точки на графике изображаются пустыми (выколотыми) кружками.

Ответ: График функции на промежутке $(1; 3)$ — это дуга параболы, расположенная между точками $(1, -1)$ и $(3, -9)$, причем обе конечные точки не включены в график (выколотые).

г) (-∞; -1)

Промежуток $(-\infty; -1)$ — это открытый луч. Граничная точка $x=-1$ не включена в промежуток.
Вычислим координаты граничной точки (она будет выколотой) и нескольких других точек на луче:
- при $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$ — выколотая.
- при $x = -2$, $y = -(-2)^2 = -4$. Получаем точку $(-2, -4)$.
- при $x = -3$, $y = -(-3)^2 = -9$. Получаем точку $(-3, -9)$.
График представляет собой часть левой ветви параболы, которая идет из минус бесконечности (слева и снизу), проходит через точки $(-3, -9)$, $(-2, -4)$ и заканчивается в выколотой точке $(-1, -1)$.

Ответ: График функции на промежутке $(-\infty; -1)$ — это часть левой ветви параболы, уходящая в бесконечность влево и вниз и заканчивающаяся в точке $(-1, -1)$, которая не включена в график (выколотая).

44.36 а) $(-2; 1)$;

б) $(-2; 3]$;

в) $[-1; +\infty)$;

г) $[-3; 1]$.

а)

Данный интервал $(-2; 1)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $-2 < x < 1$. Чтобы составить неравенство с таким решением, можно использовать квадратичную функцию. Концы интервала, числа $-2$ и $1$, будут корнями соответствующего квадратного уравнения. Составим выражение, которое обращается в ноль в этих точках: $(x - (-2))(x - 1) = (x+2)(x-1)$.

После раскрытия скобок получаем: $x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$. Графиком функции $y = x^2 + x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть на интервале $(-2; 1)$. Так как исходный интервал строгий (с круглыми скобками), неравенство также должно быть строгим.

Ответ: $x^2 + x - 2 < 0$.

б)

Данный полуинтервал $(-2; 3]$ соответствует множеству всех действительных чисел $x$, для которых одновременно выполняются два условия: $x > -2$ и $x \le 3$. Для получения такого решения удобно использовать дробно-рациональное неравенство. Точка $x=3$ должна быть корнем числителя (чтобы неравенство могло выполняться как равенство), а точка $x=-2$ — корнем знаменателя (чтобы она была исключена из решения, так как на ноль делить нельзя).

Составим дробь $\frac{x-3}{x+2}$ и исследуем её знак методом интервалов. Критические точки $x=3$ (корень числителя) и $x=-2$ (корень знаменателя) разбивают числовую ось на интервалы.

• При $x \in (-2; 3)$, например $x=0$, дробь $\frac{0-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0$.
• При $x = 3$, дробь равна $0$.
• При $x > 3$ или $x < -2$, дробь положительна.

Нам нужен промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это соответствует значениям $x$ из полуинтервала $(-2; 3]$. Таким образом, неравенство должно быть нестрогим.

Ответ: $\frac{x-3}{x+2} \le 0$.

в)

Данный числовой луч $[-1; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x \ge -1$.

Можно составить иррациональное неравенство, множество решений которого совпадает с его областью допустимых значений (ОДЗ). Рассмотрим неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge 0$. Оно будет выполняться для всех $x$, для которых корень определён, так как значение арифметического квадратного корня по определению всегда неотрицательно.

Для функции $y=\sqrt{x+1}$ область определения задаётся условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, что равносильно $x \ge -1$. Это в точности совпадает с требуемым множеством решений.

Ответ: $\sqrt{x+1} \ge 0$.

г)

Данный отрезок $[-3; 1]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому двойному неравенству $-3 \le x \le 1$.

Аналогично пункту а), используем квадратичное неравенство. Концы отрезка, $-3$ и $1$, являются корнями квадратного трехчлена $(x - (-3))(x - 1) = (x+3)(x-1)$.

Раскрыв скобки, получаем $x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + 2x - 3$. Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями вверх. Неположительные значения (меньше или равные нулю) функция принимает на отрезке между корнями, включая сами корни. Поэтому неравенство должно быть нестрогим.

Ответ: $x^2 + 2x - 3 \le 0$.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2$ на заданном промежутке:

44.37

а) [-2; 0,5];

б) [-1,5; 0];

в) [-2,5; 1,5];

г) [-3; 2,3].

а) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^2$ на промежутке $[-2; 0,5]$.

График функции $y=x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Вершина является точкой глобального минимума функции. Поскольку точка $x=0$ принадлежит заданному промежутку $[-2; 0,5]$, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в этой точке.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Наибольшее значение на отрезке для параболы $y=x^2$ достигается в той концевой точке отрезка, которая наиболее удалена от нуля (имеет больший модуль). Сравним значения функции на концах промежутка:

$y(-2) = (-2)^2 = 4$

$y(0,5) = (0,5)^2 = 0,25$

Сравнивая полученные значения ($4$ и $0,25$), находим, что наибольшее значение равно $4$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $4$.

б) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^2$ на промежутке $[-1,5; 0]$.

Точка минимума $x=0$ является правым концом этого промежутка. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке равно:

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y=x^2$ является убывающей. Поэтому на отрезке $[-1,5; 0]$ наибольшее значение достигается в его левой точке $x=-1,5$.

$y_{наиб} = y(-1,5) = (-1,5)^2 = 2,25$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $2,25$.

в) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^2$ на промежутке $[-2,5; 1,5]$.

Промежуток $[-2,5; 1,5]$ содержит точку минимума $x=0$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке равно:

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Для нахождения наибольшего значения сравним значения функции на концах промежутка. Наибольшее значение будет в точке, модуль которой больше: $|-2,5| = 2,5$ и $|1,5| = 1,5$. Так как $2,5 > 1,5$, наибольшее значение достигается при $x=-2,5$.

$y_{наиб} = y(-2,5) = (-2,5)^2 = 6,25$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $6,25$.

г) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^2$ на промежутке $[-3; 2,3]$.

Промежуток $[-3; 2,3]$ содержит точку минимума $x=0$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке равно:

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Для нахождения наибольшего значения сравним модули концов промежутка: $|-3| = 3$ и $|2,3| = 2,3$. Так как $3 > 2,3$, наибольшее значение достигается при $x=-3$.

$y_{наиб} = y(-3) = (-3)^2 = 9$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $9$.

44.38 a) $[0,5; +\infty);$

В) $[-0,3; +\infty);$

б) $(-\infty; \frac{6}{7}];$

Г) $(-\infty; -\frac{1}{5}].$

а) Дан числовой промежуток $[0,5; +\infty)$. Этот промежуток представляет собой множество всех чисел, которые больше или равны 0,5. Квадратная скобка у числа 0,5 означает, что само число 0,5 включается в множество (что соответствует знаку нестрогого неравенства $\ge$). Знак $+\infty$ с круглой скобкой означает, что промежуток не ограничен в положительную сторону. Если обозначить число из этого промежутка переменной $x$, то соответствующее неравенство будет выглядеть следующим образом.

Ответ: $x \ge 0,5$.

б) Дан числовой промежуток $(-\infty; \frac{6}{7}]$. Этот промежуток представляет собой множество всех чисел, которые меньше или равны $\frac{6}{7}$. Знак $-\infty$ с круглой скобкой означает, что промежуток не ограничен в отрицательную сторону. Квадратная скобка у числа $\frac{6}{7}$ означает, что это число включается в множество (что соответствует знаку нестрогого неравенства $\le$). Если обозначить число из этого промежутка переменной $x$, то соответствующее неравенство будет выглядеть следующим образом.

Ответ: $x \le \frac{6}{7}$.

в) Дан числовой промежуток $[-0,3; +\infty)$. Этот промежуток представляет собой множество всех чисел, которые больше или равны -0,3. Квадратная скобка у числа -0,3 означает, что само число -0,3 включается в множество (знак $\ge$). Знак $+\infty$ с круглой скобкой означает, что промежуток не ограничен в положительную сторону. Если обозначить число из этого промежутка переменной $x$, то соответствующее неравенство будет выглядеть следующим образом.

Ответ: $x \ge -0,3$.

г) Дан числовой промежуток $(-\infty; -\frac{1}{5}]$. Этот промежуток представляет собой множество всех чисел, которые меньше или равны $-\frac{1}{5}$. Знак $-\infty$ с круглой скобкой означает, что промежуток не ограничен в отрицательную сторону. Квадратная скобка у числа $-\frac{1}{5}$ означает, что это число включается в множество (знак $\le$). Если обозначить число из этого промежутка переменной $x$, то соответствующее неравенство будет выглядеть следующим образом.

Ответ: $x \le -\frac{1}{5}$.