Страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №7

Вариант 2

1 Разложите многочлен на множители:

$15m^2n - 5n^2m$

Для того чтобы разложить многочлен $15m^2n - 5n^2m$ на множители, нужно найти общий множитель для обоих членов и вынести его за скобки.

1. Находим наибольший общий делитель (НОД) числовых коэффициентов.

Коэффициенты многочлена — это 15 и 5. Наибольший общий делитель для чисел 15 и 5 равен 5.

2. Находим общие переменные в наименьшей степени.

В первом члене ($15m^2n$) переменная $m$ находится во второй степени ($m^2$), а переменная $n$ — в первой ($n^1$).

Во втором члене ($-5n^2m$) переменная $n$ находится во второй степени ($n^2$), а переменная $m$ — в первой ($m^1$).

Общей частью для $m^2$ и $m$ является $m$ (наименьшая степень).

Общей частью для $n$ и $n^2$ является $n$ (наименьшая степень).

3. Формируем общий множитель.

Общий множитель — это произведение НОД коэффициентов и общих переменных. Таким образом, общий множитель равен $5mn$.

4. Выносим общий множитель за скобки.

Для этого делим каждый член исходного многочлена на общий множитель $5mn$:

$\frac{15m^2n}{5mn} = 3m$

$\frac{-5n^2m}{5mn} = -n$

Записываем результат в виде произведения общего множителя на многочлен в скобках:

$15m^2n - 5n^2m = 5mn(3m - n)$

Ответ: $5mn(3m - n)$

2 Разложите многочлен на множители: $20a^3 - 6b^2 - 24ab + 5a^2b$.

Для разложения многочлена $20a^3 - 6b^2 - 24ab + 5a^2b$ на множители воспользуемся методом группировки. Этот метод заключается в объединении слагаемых в группы, из которых можно вынести общий множитель.

1. Перегруппируем слагаемые многочлена для удобства. Сгруппируем члены, содержащие высокие степени переменной $a$, и члены, содержащие $b$. Например, сгруппируем $20a^3$ с $5a^2b$ и $-24ab$ с $-6b^2$.

$ (20a^3 + 5a^2b) + (-24ab - 6b^2) $

2. Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп.

Из первой группы $(20a^3 + 5a^2b)$ можно вынести общий множитель $5a^2$:

$20a^3 + 5a^2b = 5a^2(4a + b)$

Из второй группы $(-24ab - 6b^2)$ можно вынести общий множитель $-6b$:

$-24ab - 6b^2 = -6b(4a + b)$

3. Подставим полученные выражения обратно в сгруппированный многочлен:

$5a^2(4a + b) - 6b(4a + b)$

4. Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — это выражение в скобках $(4a + b)$. Вынесем его за скобки:

$(4a + b)(5a^2 - 6b)$

Таким образом, мы разложили исходный многочлен на два множителя. Для проверки можно раскрыть скобки и убедиться, что получится исходное выражение:

$(4a + b)(5a^2 - 6b) = 4a \cdot 5a^2 - 4a \cdot 6b + b \cdot 5a^2 - b \cdot 6b = 20a^3 - 24ab + 5a^2b - 6b^2$.

Полученное выражение совпадает с исходным многочленом (с точностью до порядка слагаемых).

Ответ: $(4a + b)(5a^2 - 6b)$.

3 Найдите значение выражения $2x^2 - 4xy^2 + 3xy - 6y^3$, если $x = \frac{1}{4}, y = -\frac{1}{6}$.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, разложив на множители методом группировки.

Исходное выражение: $2x^2 - 4xy^2 + 3xy - 6y^3$.

Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(2x^2 - 4xy^2) + (3xy - 6y^3)$

Вынесем общие множители из каждой скобки. В первой скобке общий множитель $2x$, во второй — $3y$.

$2x(x - 2y^2) + 3y(x - 2y^2)$

Теперь мы видим общий множитель $(x - 2y^2)$, который также можно вынести за скобки:

$(2x + 3y)(x - 2y^2)$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданные значения $x = \frac{1}{4}$ и $y = \frac{1}{6}$. Вычислим значение каждого множителя по отдельности.

1. Найдем значение первого множителя $(2x + 3y)$:

$2x + 3y = 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{4} + \frac{3}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

2. Найдем значение второго множителя $(x - 2y^2)$:

$x - 2y^2 = \frac{1}{4} - 2 \cdot (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{4} - \frac{2}{36} = \frac{1}{4} - \frac{1}{18}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 18 равен 36:

$\frac{1}{4} - \frac{1}{18} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{9}{36} - \frac{2}{36} = \frac{7}{36}$

3. Теперь перемножим значения полученных множителей:

$(2x + 3y)(x - 2y^2) = 1 \cdot \frac{7}{36} = \frac{7}{36}$

Ответ: $\frac{7}{36}$.

4 Разложите многочлен на множители:

а) $16x^4 - 0,09a^2;$

б) $4a^6b^2 - 20a^3bc^2 + 25c^4;$

в) $\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2.$

а) Для разложения многочлена $16x^4 - 0,09a^2$ на множители используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Сначала представим каждый член многочлена в виде квадрата:
Первый член: $16x^4 = (4x^2)^2$.
Второй член: $0,09a^2 = (0,3a)^2$.
Теперь, приняв $A = 4x^2$ и $B = 0,3a$, применим формулу:
$(4x^2)^2 - (0,3a)^2 = (4x^2 - 0,3a)(4x^2 + 0,3a)$.
Ответ: $(4x^2 - 0,3a)(4x^2 + 0,3a)$.

б) Многочлен $4a^6b^2 - 20a^3bc^2 + 25c^4$ является трехчленом. Проверим, можно ли его представить в виде квадрата разности по формуле $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
Первый член: $4a^6b^2 = (2a^3b)^2$. Таким образом, $A = 2a^3b$.
Третий член: $25c^4 = (5c^2)^2$. Таким образом, $B = 5c^2$.
Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $A$ и $B$ со знаком минус:
$-2AB = -2 \cdot (2a^3b) \cdot (5c^2) = -20a^3bc^2$.
Это совпадает со средним членом исходного многочлена. Следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности:
$4a^6b^2 - 20a^3bc^2 + 25c^4 = (2a^3b - 5c^2)^2$.
Ответ: $(2a^3b - 5c^2)^2$.

в) Многочлен $\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2$ является трехчленом. Проверим, можно ли его представить в виде квадрата суммы по формуле $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
Первый член: $\frac{1}{16}a^2 = (\frac{1}{4}a)^2$. Таким образом, $A = \frac{1}{4}a$.
Третий член: $\frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{3}b)^2$. Таким образом, $B = \frac{1}{3}b$.
Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $A$ и $B$:
$2AB = 2 \cdot (\frac{1}{4}a) \cdot (\frac{1}{3}b) = \frac{2}{12}ab = \frac{1}{6}ab$.
Это совпадает со средним членом исходного многочлена. Следовательно, мы можем применить формулу квадрата суммы:
$\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{4}a + \frac{1}{3}b)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{4}a + \frac{1}{3}b)^2$.

5. Разложите многочлен на множители:

$(x - 2y)^3 + (x + 2y)^3$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем выражении $(x - 2y)^3 + (x + 2y)^3$ положим $a = x - 2y$ и $b = x + 2y$.

Сначала найдем первый множитель, который является суммой оснований $(a + b)$:

$a + b = (x - 2y) + (x + 2y) = x - 2y + x + 2y = 2x$.

Далее найдем второй множитель, который является неполным квадратом разности оснований $(a^2 - ab + b^2)$. Вычислим каждую его часть отдельно:

Квадрат первого основания: $a^2 = (x - 2y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$.

Произведение оснований: $ab = (x - 2y)(x + 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$.

Квадрат второго основания: $b^2 = (x + 2y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$.

Теперь подставим эти выражения в формулу неполного квадрата разности:

$a^2 - ab + b^2 = (x^2 - 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4y^2) + (x^2 + 4xy + 4y^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + 4y^2 + x^2 + 4xy + 4y^2 = (x^2 - x^2 + x^2) + (-4xy + 4xy) + (4y^2 + 4y^2 + 4y^2) = x^2 + 12y^2$.

Таким образом, мы получили два множителя: $2x$ и $(x^2 + 12y^2)$.

Перемножив их, получаем итоговое разложение на множители:

$(x - 2y)^3 + (x + 2y)^3 = 2x(x^2 + 12y^2)$.

Ответ: $2x(x^2 + 12y^2)$.

6 Вычислите наиболее рациональным способом: $128^2 - 78^2$.

Для вычисления значения выражения $128^2 - 78^2$ наиболее рациональным способом воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Этот метод позволяет избежать возведения в квадрат больших чисел и последующего вычитания, что упрощает расчеты и снижает вероятность ошибки.

В нашем выражении $a = 128$, а $b = 78$.

Применим формулу, подставив наши значения:

$128^2 - 78^2 = (128 - 78)(128 + 78)$

Теперь вычислим значения в каждой из скобок:

$128 - 78 = 50$

$128 + 78 = 206$

Осталось перемножить полученные результаты:

$50 \times 206 = 10300$

Ответ: $10300$

7 Докажите, что значение выражения $108^3 - 7^3$ кратно 101.

Для доказательства того, что значение выражения $108^3 - 7^3$ кратно 101, воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем выражении $a = 108$ и $b = 7$. Применим к нему указанную формулу:

$108^3 - 7^3 = (108 - 7)(108^2 + 108 \cdot 7 + 7^2)$

Теперь вычислим значение первого множителя, который находится в первых скобках:

$108 - 7 = 101$

Подставим полученное значение обратно в разложение:

$108^3 - 7^3 = 101 \cdot (108^2 + 108 \cdot 7 + 7^2)$

В результате мы представили исходное выражение в виде произведения двух множителей. Первый множитель равен 101. Второй множитель, $(108^2 + 108 \cdot 7 + 7^2)$, является целым числом. Если один из множителей в произведении делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. В нашем случае, так как один из множителей равен 101, всё произведение кратно 101.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $108^3 - 7^3$ кратно 101.

Ответ: Утверждение доказано.

8 Сократите дробь:

a) $\frac{a^3 + b^3}{b^2 - a^2}$;

б) $\frac{3a^3b^2 - 18a^2b^3 + 27ab^4}{6a^3b - 18a^2b^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^3 + b^3}{b^2 - a^2} $, разложим ее числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель является суммой кубов. Используем формулу суммы кубов: $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $.

$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $

Знаменатель является разностью квадратов. Используем формулу разности квадратов: $ y^2 - x^2 = (y-x)(y+x) $.

$ b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) $

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходную дробь:

$ \frac{a^3 + b^3}{b^2 - a^2} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(b - a)(b + a)} $

Сократим общий множитель $ (a+b) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{(a + b)}(a^2 - ab + b^2)}{(b - a)\cancel{(b + a)}} = \frac{a^2 - ab + b^2}{b - a} $

Дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $ \frac{a^2 - ab + b^2}{b - a} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{3a^3b^2 - 18a^2b^3 + 27ab^4}{6a^3b - 18a^2b^2} $, разложим ее числитель и знаменатель на множители.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем общий множитель $ 3ab^2 $ за скобки:

$ 3a^3b^2 - 18a^2b^3 + 27ab^4 = 3ab^2(a^2 - 6ab + 9b^2) $

Выражение в скобках $ a^2 - 6ab + 9b^2 $ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $.

$ a^2 - 6ab + 9b^2 = (a)^2 - 2(a)(3b) + (3b)^2 = (a - 3b)^2 $

Таким образом, числитель полностью разложен на множители: $ 3ab^2(a - 3b)^2 $.

Теперь преобразуем знаменатель. Вынесем общий множитель $ 6a^2b $ за скобки:

$ 6a^3b - 18a^2b^2 = 6a^2b(a - 3b) $

Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение:

$ \frac{3ab^2(a - 3b)^2}{6a^2b(a - 3b)} $

Сокращаем числовые коэффициенты $ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $, переменные $ \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} $, $ \frac{b^2}{b} = b $, и скобки $ \frac{(a-3b)^2}{a-3b} = a-3b $.

$ \frac{\cancel{3}\cancel{a}b^{\cancel{2}}(a - 3b)^{\cancel{2}}}{\cancel{6}_2 a^{\cancel{2}}\cancel{b}(\cancel{a - 3b})} = \frac{b(a - 3b)}{2a} $

Дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $ \frac{b(a - 3b)}{2a} $

9. Докажите тождество:

$(b - c)(b + c)^2 + (c - a)(c + a)^2 + (a - b)(a + b)^2 = -(a - b)(b - c)(c - a).$

Для доказательства данного тождества мы преобразуем его левую (ЛЧ) и правую (ПЧ) части по отдельности и покажем, что они приводятся к одному и тому же выражению.

Преобразование левой части тождества (ЛЧ)

Левая часть имеет вид:

ЛЧ $= (b - c)(b + c)^2 + (c - a)(c + a)^2 + (a - b)(a + b)^2$.

Раскроем каждое слагаемое, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и правило умножения многочленов.

1. Первое слагаемое:

$(b - c)(b + c)^2 = (b - c)(b^2 + 2bc + c^2) = b(b^2 + 2bc + c^2) - c(b^2 + 2bc + c^2)$

$= (b^3 + 2b^2c + bc^2) - (b^2c + 2bc^2 + c^3) = b^3 + b^2c - bc^2 - c^3$.

2. Второе слагаемое (аналогично первому, с заменой переменных $b \to c$, $c \to a$):

$(c - a)(c + a)^2 = c^3 + c^2a - ca^2 - a^3$.

3. Третье слагаемое (аналогично, с заменой $c \to a$, $a \to b$):

$(a - b)(a + b)^2 = a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$.

Теперь сложим полученные выражения:

ЛЧ $= (b^3 + b^2c - bc^2 - c^3) + (c^3 + c^2a - ca^2 - a^3) + (a^3 + a^2b - ab^2 - b^3)$.

Сгруппируем и приведем подобные члены. Кубические члены взаимно уничтожаются:

ЛЧ $= (a^3 - a^3) + (b^3 - b^3) + (c^3 - c^3) + a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$.

В результате получаем:

ЛЧ $= a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$.

Преобразование правой части тождества (ПЧ)

Правая часть имеет вид:

ПЧ $= -(a - b)(b - c)(c - a)$.

Сначала раскроем произведение многочленов $(a - b)(b - c)(c - a)$:

$(a - b)(b - c) = ab - ac - b^2 + bc$.

Теперь умножим результат на $(c - a)$:

$(ab - ac - b^2 + bc)(c - a) = c(ab - ac - b^2 + bc) - a(ab - ac - b^2 + bc)$

$= (abc - ac^2 - b^2c + bc^2) - (a^2b - a^2c - ab^2 + abc)$

$= abc - ac^2 - b^2c + bc^2 - a^2b + a^2c + ab^2 - abc$.

Приведем подобные члены:

$(a - b)(b - c)(c - a) = -a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 + a^2c - ac^2$.

Подставим это выражение в правую часть с учетом знака минус перед скобками:

ПЧ $= -(-a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 + a^2c - ac^2)$.

Раскрыв скобки, получаем:

ПЧ $= a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2$.

Сравнение результатов

Теперь сравним выражения, полученные для левой и правой частей.

ЛЧ $= a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$.

ПЧ $= a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$. (используя $ac^2 = c^2a$ и $-a^2c = -ca^2$ для единообразия записи).

Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению. Следовательно, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Тождество доказано.

10 При каком значении $k$ среднее ряда из $k$ троек и одной двойки будет равно 2,9?

Среднее арифметическое ряда чисел вычисляется как отношение суммы всех чисел этого ряда к их количеству.

Пусть у нас есть ряд, состоящий из $k$ троек и одной двойки.

Сначала найдем сумму всех членов этого ряда. Сумма $k$ троек равна $3 \times k$. Добавив к этой сумме одну двойку, получим общую сумму:
Сумма = $3k + 2$

Теперь найдем общее количество чисел в ряду. Оно состоит из $k$ троек и одной двойки:
Количество = $k + 1$

По условию задачи, среднее арифметическое этого ряда равно 2,9. Составим уравнение, используя формулу среднего арифметического:
Среднее = $\frac{\text{Сумма}}{\text{Количество}}$
$2,9 = \frac{3k + 2}{k + 1}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $k$. Для этого умножим обе части уравнения на знаменатель $(k + 1)$:
$2,9 \times (k + 1) = 3k + 2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2,9k + 2,9 = 3k + 2$

Сгруппируем члены, содержащие $k$, в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:
$2,9 - 2 = 3k - 2,9k$
$0,9 = 0,1k$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на 0,1:
$k = \frac{0,9}{0,1}$
$k = 9$

Таким образом, для того чтобы среднее ряда из $k$ троек и одной двойки было равно 2,9, количество троек должно быть равно 9.

Ответ: 9.