Страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

42.3 a) $a \cdot (-b) = -ab;$

б) $a - b = a + (-b);$

В) $(-a)(-b) = ab;$

Г) $a \cdot 0 = 0.$

а) Для доказательства тождества $a \cdot (-b) = -ab$ воспользуемся аксиомами действительных чисел. Начнем с аксиомы о существовании противоположного элемента. Для любого числа $b$ существует число $-b$ (противоположное к $b$), такое, что их сумма равна нулю: $b + (-b) = 0$
Умножим обе части этого равенства на $a$: $a \cdot (b + (-b)) = a \cdot 0$
Используя дистрибутивный закон (распределительное свойство умножения) для левой части, получаем: $a \cdot b + a \cdot (-b) = a \cdot 0$
Как доказывается в пункте г), произведение любого числа на ноль равно нулю, то есть $a \cdot 0 = 0$. Тогда наше уравнение принимает вид: $ab + a \cdot (-b) = 0$
Это равенство по определению означает, что выражение $a \cdot (-b)$ является противоположным элементом для произведения $ab$. Противоположный элемент для $ab$ по определению обозначается как $-ab$. Следовательно, мы доказали, что $a \cdot (-b) = -ab$.
Ответ: Тождество $a \cdot (-b) = -ab$ доказано.

б) Равенство $a - b = a + (-b)$ является определением операции вычитания. По определению, вычесть из числа $a$ число $b$ — это значит прибавить к числу $a$ число, противоположное числу $b$.
Докажем это формально. Пусть $x = a - b$. По определению вычитания, это эквивалентно тому, что $x + b = a$.
Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства: $y = a + (-b)$. Прибавим к обеим частям этого равенства число $b$: $y + b = (a + (-b)) + b$
Используя ассоциативный закон (сочетательное свойство сложения), перегруппируем слагаемые: $y + b = a + ((-b) + b)$
Так как $(-b) + b = 0$ по определению противоположного элемента, получаем: $y + b = a + 0$
По определению нуля как нейтрального элемента сложения, $a + 0 = a$. Значит: $y + b = a$
Мы получили, что $x + b = a$ и $y + b = a$. Из этого следует, что $x = y$. Таким образом, $a - b = a + (-b)$.
Ответ: Тождество $a - b = a + (-b)$ доказано, так как оно является определением вычитания.

в) Для доказательства тождества $(-a)(-b) = ab$ воспользуемся результатом, полученным в пункте а), а именно $x \cdot (-y) = -xy$.
Рассмотрим произведение $(-a)(-b)$. Применим свойство из пункта а), где в качестве $x$ выступает $(-a)$, а в качестве $y$ — число $b$: $(-a) \cdot (-b) = -((-a) \cdot b)$
Теперь преобразуем выражение в скобках $(-a) \cdot b$. По коммутативному (переместительному) свойству умножения: $(-a) \cdot b = b \cdot (-a)$.
Снова применяем свойство из пункта а) для $b \cdot (-a)$, где $x=b$ и $y=a$: $b \cdot (-a) = -(b \cdot a) = -ab$.
Значит, $(-a) \cdot b = -ab$.
Подставим этот результат в наше первоначальное выражение: $(-a)(-b) = -(-ab)$
Выражение $-(-ab)$ означает число, противоположное числу $-ab$. По определению, это такое число, которое в сумме с $-ab$ дает 0. Таким числом является $ab$, так как $-ab + ab = 0$. Следовательно, $-(-ab) = ab$.
Таким образом, мы доказали, что $(-a)(-b) = ab$.
Ответ: Тождество $(-a)(-b) = ab$ доказано.

г) Для доказательства тождества $a \cdot 0 = 0$ используем свойство нуля как нейтрального элемента для операции сложения. По определению, для любого числа $n$ верно $n+0=n$. В частности, $0 + 0 = 0$.
Умножим обе части равенства $0 + 0 = 0$ на произвольное число $a$: $a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0$
Применим дистрибутивный закон к левой части равенства: $a \cdot 0 + a \cdot 0 = a \cdot 0$
Обозначим произведение $a \cdot 0$ через $x$. Тогда наше равенство примет вид: $x + x = x$
Прибавим к обеим частям этого равенства число $-x$, противоположное $x$: $(x + x) + (-x) = x + (-x)$
Используем ассоциативный закон для левой части: $x + (x + (-x)) = x + (-x)$
По определению противоположного элемента, $x + (-x) = 0$. Подставим это в обе части равенства: $x + 0 = 0$
По определению нуля как нейтрального элемента сложения, $x + 0 = x$. Таким образом, мы получаем: $x = 0$
Так как мы обозначили $x = a \cdot 0$, мы доказали, что $a \cdot 0 = 0$.
Ответ: Тождество $a \cdot 0 = 0$ доказано.

Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождественно равны выражения:

42.4 a) $a + 7b$ и $7b + a$;

б) $(x + 4) + y$ и $x + (4 + y)$;

в) $m \cdot 7n$ и $7nm$;

г) $5(c + d) + 3$ и $5c + 5d + 3?

а) Выражения $a + 7b$ и $7b + a$ представляют собой сумму двух слагаемых. Отличие между ними заключается в порядке слагаемых. Равенство этих выражений следует из переместительного свойства сложения, которое утверждает, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Формула этого свойства: $x + y = y + x$.
Ответ: переместительное свойство сложения.

б) В выражениях $(x + 4) + y$ и $x + (4 + y)$ выполняется сложение трех слагаемых, но с разной группировкой. Равенство этих выражений основано на сочетательном свойстве сложения. Оно гласит, что при сложении трех и более чисел их можно группировать в любом порядке. Формула этого свойства: $(x + y) + z = x + (y + z)$.
Ответ: сочетательное свойство сложения.

в) Выражения $m \cdot 7n$ и $7nm$ являются произведениями. В них изменен порядок множителей. Чтобы доказать их равенство, используются два свойства умножения:
1. Переместительное свойство ($x \cdot y = y \cdot x$), которое позволяет менять множители местами.
2. Сочетательное свойство ($(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$), которое позволяет произвольно группировать множители.
Используя эти свойства, можно преобразовать $m \cdot 7n$ в $7nm$.
Ответ: переместительное и сочетательное свойства умножения.

г) Чтобы доказать тождественное равенство выражений $5(c + d) + 3$ и $5c + 5d + 3$, необходимо преобразовать первое из них. Для раскрытия скобок в части выражения $5(c + d)$ применяется распределительное свойство умножения относительно сложения. Это свойство позволяет умножить число на сумму, умножив это число на каждое слагаемое и сложив результаты. Формула этого свойства: $a(b + c) = ab + ac$.
Применив его, получаем: $5(c + d) = 5c + 5d$.
Таким образом, исходное выражение становится $5c + 5d + 3$, что и доказывает равенство.
Ответ: распределительное свойство умножения относительно сложения.

42.5 а) $2c \cdot 4$ и $8c$;

б) $(p - p)q$ и $0$;

в) $4t + 8sr$ и $8rs + 4t$;

г) $(a + b) \cdot 2$ и $2a + 2b$?

а) Чтобы сравнить выражения $2c \cdot 4$ и $8c$, нужно упростить первое выражение. Используя сочетательное и переместительное свойства умножения, мы можем перемножить числовые коэффициенты: $2c \cdot 4 = 2 \cdot c \cdot 4 = (2 \cdot 4) \cdot c = 8c$. После упрощения первое выражение стало $8c$, что идентично второму выражению. Следовательно, эти выражения равны при любом значении переменной $c$.
Ответ: $2c \cdot 4 = 8c$.

б) Сравним выражения $(p - p)q$ и $0$. Выполним действие в скобках в первом выражении. Разность одинаковых чисел всегда равна нулю: $p - p = 0$. Теперь подставим полученное значение в выражение: $(p - p)q = 0 \cdot q$. Произведение любого числа на ноль равно нулю, поэтому $0 \cdot q = 0$. Таким образом, первое выражение всегда равно $0$, так же как и второе.
Ответ: $(p - p)q = 0$.

в) Сравним выражения $4t + 8sr$ и $8rs + 4t$. В алгебре действуют переместительные свойства сложения и умножения. Переместительное свойство сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($A + B = B + A$). Переместительное свойство умножения гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($A \cdot B = B \cdot A$). Применим эти свойства ко второму выражению: $8rs + 4t = 4t + 8rs$. Так как $sr = rs$, то и $8sr = 8rs$. Следовательно, выражение $4t + 8sr$ тождественно равно выражению $4t + 8rs$, а значит и выражению $8rs + 4t$.
Ответ: $4t + 8sr = 8rs + 4t$.

г) Сравним выражения $(a + b) \cdot 2$ и $2a + 2b$. Для первого выражения применим распределительное свойство умножения относительно сложения, которое утверждает, что $k \cdot (x + y) = k \cdot x + k \cdot y$. Раскроем скобки в первом выражении: $(a + b) \cdot 2 = a \cdot 2 + b \cdot 2$. Используя переместительное свойство умножения, мы можем записать это как $2a + 2b$. В результате преобразования мы получили выражение, которое в точности совпадает со вторым выражением. Значит, данные выражения равны.
Ответ: $(a + b) \cdot 2 = 2a + 2b$.

Докажите тождество:

42.6 a) $x - y = -(y - x);$

б) $(m - n)^2 = (n - m)^2;$

в) $2a - 3b = -(3b - 2a);$

г) $(3c - 4d)^2 = (4d - 3c)^2.$

а) Чтобы доказать тождество $x - y = -(y - x)$, преобразуем его правую часть, раскрыв скобки. При раскрытии скобок знак каждого слагаемого внутри меняется на противоположный.

$-(y - x) = -y - (-x) = -y + x$

Теперь, используя переместительное свойство сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), поменяем слагаемые местами:

$-y + x = x - y$

В результате преобразования мы получили выражение, которое в точности равно левой части исходного равенства. Таким образом, $x - y = x - y$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(m - n)^2 = (n - m)^2$, можно преобразовать правую часть. Заметим, что выражения в скобках являются противоположными друг другу. Вынесем множитель $-1$ из скобок в правой части:

$n - m = -1 \cdot (-n + m) = -(m - n)$

Теперь подставим это в правую часть тождества:

$(n - m)^2 = (-(m - n))^2$

Используя свойство степени $(ab)^2 = a^2 b^2$, получаем:

$(-(m - n))^2 = (-1)^2 \cdot (m - n)^2$

Поскольку $(-1)^2 = 1$, то:

$1 \cdot (m - n)^2 = (m - n)^2$

Правая часть тождества равна левой части: $(m - n)^2 = (m - n)^2$. Тождество доказано. Это общее свойство: квадраты противоположных чисел равны.

Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $2a - 3b = -(3b - 2a)$, преобразуем его правую часть, раскрыв скобки. Как и в пункте а), меняем знаки слагаемых в скобках на противоположные.

$-(3b - 2a) = -3b - (-2a) = -3b + 2a$

Далее, поменяем слагаемые местами (переместительное свойство сложения):

$-3b + 2a = 2a - 3b$

Полученное выражение идентично левой части исходного равенства: $2a - 3b = 2a - 3b$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Чтобы доказать тождество $(3c - 4d)^2 = (4d - 3c)^2$, воспользуемся тем же подходом, что и в пункте б). Выражения $3c - 4d$ и $4d - 3c$ являются противоположными.

Преобразуем правую часть, вынеся за скобки множитель $-1$:

$(4d - 3c)^2 = (-( -4d + 3c))^2 = (-(3c - 4d))^2$

Используем свойство степени для произведения:

$(-(3c - 4d))^2 = (-1)^2 \cdot (3c - 4d)^2$

Так как $(-1)^2 = 1$, получаем:

$1 \cdot (3c - 4d)^2 = (3c - 4d)^2$

Мы показали, что правая часть тождества равна левой: $(3c - 4d)^2 = (3c - 4d)^2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

42.7 а) $10a - (- (5a + 20)) = 5(3a + 4);$

б) $-(-7x) - (6 + 5x) = 2(x - 3);$

в) $12y - (25 - (6y - 11)) = 18(y - 2);$

г) $36 - (- (9c - 15)) = 3(3c + 7).$

а)

Решим уравнение $10a - (-(5a + 20)) = 5(3a + 4)$.

Сначала упростим левую часть уравнения, последовательно раскрывая скобки. Раскрываем внутренние скобки, меняя знаки:

$10a - (-5a - 20)$

Теперь раскрываем оставшиеся скобки, снова меняя знаки:

$10a + 5a + 20$

Приводим подобные слагаемые:

$15a + 20$

Теперь упростим правую часть уравнения, используя распределительный закон умножения:

$5(3a + 4) = 5 \cdot 3a + 5 \cdot 4 = 15a + 20$

После упрощения обеих частей уравнение принимает вид:

$15a + 20 = 15a + 20$

Перенесем все слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$15a - 15a = 20 - 20$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством, и его решением является любое число.

Ответ: $a$ — любое число.

б)

Решим уравнение $-(-7x) - (6 + 5x) = 2(x - 3)$.

Упростим левую часть, раскрыв скобки:

$-(-7x) = 7x$

$-(6 + 5x) = -6 - 5x$

Таким образом, левая часть равна:

$7x - 6 - 5x$

Приводим подобные слагаемые:

$(7x - 5x) - 6 = 2x - 6$

Теперь упростим правую часть уравнения:

$2(x - 3) = 2x - 2 \cdot 3 = 2x - 6$

Уравнение принимает вид:

$2x - 6 = 2x - 6$

Это верное равенство, которое выполняется при любом значении $x$. Следовательно, уравнение является тождеством.

Ответ: $x$ — любое число.

в)

Решим уравнение $12y - (25 - (6y - 11)) = 18(y - 2)$.

Упростим левую часть, начиная с раскрытия внутренних скобок:

$12y - (25 - 6y + 11)$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$12y - (36 - 6y)$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$12y - 36 + 6y$

Снова приведем подобные слагаемые:

$(12y + 6y) - 36 = 18y - 36$

Упростим правую часть уравнения:

$18(y - 2) = 18y - 18 \cdot 2 = 18y - 36$

Получаем уравнение:

$18y - 36 = 18y - 36$

Это тождество, верное при любом значении $y$.

Ответ: $y$ — любое число.

г)

Решим уравнение $36 - (-(-9c - 15)) = 3(3c + 7)$.

Упростим левую часть, раскрыв внутренние скобки:

$36 - (9c + 15)$

Раскроем оставшиеся скобки:

$36 - 9c - 15$

Приведем подобные слагаемые:

$(36 - 15) - 9c = 21 - 9c$

Теперь упростим правую часть:

$3(3c + 7) = 3 \cdot 3c + 3 \cdot 7 = 9c + 21$

Уравнение принимает вид:

$21 - 9c = 9c + 21$

Перенесем слагаемые с переменной $c$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$21 - 21 = 9c + 9c$

$0 = 18c$

Чтобы найти $c$, разделим обе части уравнения на 18:

$c = \frac{0}{18}$

$c = 0$

Ответ: $c = 0$.

42.8 а) $a^2 + 7a + 10 = (a + 2)(a + 5);$

б) $(b - 8)(b + 3) = b^2 - 5b - 24;$

в) $x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5);$

г) $(c - 4)(c + 7) = c^2 + 3c - 28.$

а) Чтобы доказать тождество $a^2 + 7a + 10 = (a + 2)(a + 5)$, преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, умножая каждый член одного многочлена на каждый член другого:
$(a + 2)(a + 5) = a \cdot a + a \cdot 5 + 2 \cdot a + 2 \cdot 5 = a^2 + 5a + 2a + 10$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (5a + 2a) + 10 = a^2 + 7a + 10$.
В результате преобразования правая часть стала равна левой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество верно.

б) Чтобы доказать тождество $(b - 8)(b + 3) = b^2 - 5b - 24$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки:
$(b - 8)(b + 3) = b \cdot b + b \cdot 3 - 8 \cdot b - 8 \cdot 3 = b^2 + 3b - 8b - 24$.
Приведем подобные слагаемые:
$b^2 + (3b - 8b) - 24 = b^2 - 5b - 24$.
В результате преобразования левая часть стала равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество верно.

в) Чтобы доказать тождество $x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)$, преобразуем его правую часть. Раскроем скобки:
$(x - 4)(x - 5) = x \cdot x + x \cdot (-5) - 4 \cdot x - 4 \cdot (-5) = x^2 - 5x - 4x + 20$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (-5x - 4x) + 20 = x^2 - 9x + 20$.
В результате преобразования правая часть стала равна левой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество верно.

г) Чтобы доказать тождество $(c - 4)(c + 7) = c^2 + 3c - 28$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки:
$(c - 4)(c + 7) = c \cdot c + c \cdot 7 - 4 \cdot c - 4 \cdot 7 = c^2 + 7c - 4c - 28$.
Приведем подобные слагаемые:
$c^2 + (7c - 4c) - 28 = c^2 + 3c - 28$.
В результате преобразования левая часть стала равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество верно.

42.9 a) $(a - 4)(a + 2) + 4 = (a + 1)(a - 3) - 1$;

б) $16 - (x + 3)(x + 2) = 4 - (6 + x)(x - 1)$;

в) $(y - 3)(y + 7) - 13 = (y + 8)(y - 4) - 2$;

г) $(z - 11)(z + 10) + 10 = (z - 5)(z + 4) - 80$.

а) Решим уравнение $(a - 4)(a + 2) + 4 = (a + 1)(a - 3) - 1$.
Для начала раскроем скобки в обеих частях уравнения, перемножив многочлены.
Левая часть: $(a - 4)(a + 2) + 4 = (a^2 + 2a - 4a - 8) + 4 = a^2 - 2a - 8 + 4 = a^2 - 2a - 4$.
Правая часть: $(a + 1)(a - 3) - 1 = (a^2 - 3a + a - 3) - 1 = a^2 - 2a - 3 - 1 = a^2 - 2a - 4$.
Теперь приравняем полученные выражения:
$a^2 - 2a - 4 = a^2 - 2a - 4$
Перенесем все члены с переменной $a$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$a^2 - a^2 - 2a + 2a = -4 + 4$
$0 = 0$
Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное уравнение является тождеством, и его решением является любое число.
Ответ: $a$ - любое число.

б) Решим уравнение $16 - (x + 3)(x + 2) = 4 - (6 + x)(x - 1)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Левая часть: $16 - (x^2 + 2x + 3x + 6) = 16 - (x^2 + 5x + 6) = 16 - x^2 - 5x - 6 = 10 - x^2 - 5x$.
Правая часть: $4 - (6x - 6 + x^2 - x) = 4 - (x^2 + 5x - 6) = 4 - x^2 - 5x + 6 = 10 - x^2 - 5x$.
Приравняем левую и правую части:
$10 - x^2 - 5x = 10 - x^2 - 5x$
Вычтем из обеих частей одинаковые слагаемые $-x^2$ и $-5x$:
$10 = 10$
Мы получили верное числовое равенство $0 = 0$ (если перенести все в одну сторону), не зависящее от переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение верно при любом значении $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

в) Решим уравнение $(y - 3)(y + 7) - 13 = (y + 8)(y - 4) - 2$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Левая часть: $(y^2 + 7y - 3y - 21) - 13 = y^2 + 4y - 21 - 13 = y^2 + 4y - 34$.
Правая часть: $(y^2 - 4y + 8y - 32) - 2 = y^2 + 4y - 32 - 2 = y^2 + 4y - 34$.
Приравняем полученные выражения:
$y^2 + 4y - 34 = y^2 + 4y - 34$
Перенесем все члены в левую часть:
$(y^2 - y^2) + (4y - 4y) + (-34 + 34) = 0$
$0 = 0$
Получено верное числовое равенство, не зависящее от $y$. Следовательно, уравнение является тождеством.
Ответ: $y$ - любое число.

г) Решим уравнение $(z - 11)(z + 10) + 10 = (z - 5)(z + 4) - 80$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Левая часть: $(z^2 + 10z - 11z - 110) + 10 = z^2 - z - 110 + 10 = z^2 - z - 100$.
Правая часть: $(z^2 + 4z - 5z - 20) - 80 = z^2 - z - 20 - 80 = z^2 - z - 100$.
Приравняем левую и правую части:
$z^2 - z - 100 = z^2 - z - 100$
Вычтем из обеих частей одинаковое выражение $z^2 - z$:
$-100 = -100$
Получено верное числовое равенство $0 = 0$, которое не зависит от значения переменной $z$. Следовательно, исходное уравнение верно при любом значении $z$.
Ответ: $z$ - любое число.

42.10 a) $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$;

б) $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$;

в) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$;

г) $(a + b)^2 - 2b(a + b) = a^2 - b^2$.

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:
$(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(a^2 + b^2)$
В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Тождество доказано.
Ответ: $2(a^2 + b^2) = 2(a^2 + b^2)$.

б) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Снова используем формулы квадрата суммы и квадрата разности.
$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$
Раскроем скобки. Важно учесть, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:
$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 0 + 4ab + 0 = 4ab$
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $4ab = 4ab$.

в) Чтобы доказать это тождество, преобразуем его правую часть. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2$
В результате преобразования правой части мы получили левую часть. Тождество доказано.
Ответ: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$.

г) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы для первого слагаемого и распределительный закон умножения для второго.
$(a + b)^2 - 2b(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2) - (2b \cdot a + 2b \cdot b) = (a^2 + 2ab + b^2) - (2ab + 2b^2)$
Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab + b^2 - 2ab - 2b^2 = a^2 + (2ab - 2ab) + (b^2 - 2b^2) = a^2 - b^2$
Левая часть тождества равна правой, которая является формулой разности квадратов. Тождество доказано.
Ответ: $a^2 - b^2 = a^2 - b^2$.