Номер 42.3, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

42.3 a) $a \cdot (-b) = -ab;$

б) $a - b = a + (-b);$

В) $(-a)(-b) = ab;$

Г) $a \cdot 0 = 0.$

а) Для доказательства тождества $a \cdot (-b) = -ab$ воспользуемся аксиомами действительных чисел. Начнем с аксиомы о существовании противоположного элемента. Для любого числа $b$ существует число $-b$ (противоположное к $b$), такое, что их сумма равна нулю: $b + (-b) = 0$
Умножим обе части этого равенства на $a$: $a \cdot (b + (-b)) = a \cdot 0$
Используя дистрибутивный закон (распределительное свойство умножения) для левой части, получаем: $a \cdot b + a \cdot (-b) = a \cdot 0$
Как доказывается в пункте г), произведение любого числа на ноль равно нулю, то есть $a \cdot 0 = 0$. Тогда наше уравнение принимает вид: $ab + a \cdot (-b) = 0$
Это равенство по определению означает, что выражение $a \cdot (-b)$ является противоположным элементом для произведения $ab$. Противоположный элемент для $ab$ по определению обозначается как $-ab$. Следовательно, мы доказали, что $a \cdot (-b) = -ab$.
Ответ: Тождество $a \cdot (-b) = -ab$ доказано.

б) Равенство $a - b = a + (-b)$ является определением операции вычитания. По определению, вычесть из числа $a$ число $b$ — это значит прибавить к числу $a$ число, противоположное числу $b$.
Докажем это формально. Пусть $x = a - b$. По определению вычитания, это эквивалентно тому, что $x + b = a$.
Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства: $y = a + (-b)$. Прибавим к обеим частям этого равенства число $b$: $y + b = (a + (-b)) + b$
Используя ассоциативный закон (сочетательное свойство сложения), перегруппируем слагаемые: $y + b = a + ((-b) + b)$
Так как $(-b) + b = 0$ по определению противоположного элемента, получаем: $y + b = a + 0$
По определению нуля как нейтрального элемента сложения, $a + 0 = a$. Значит: $y + b = a$
Мы получили, что $x + b = a$ и $y + b = a$. Из этого следует, что $x = y$. Таким образом, $a - b = a + (-b)$.
Ответ: Тождество $a - b = a + (-b)$ доказано, так как оно является определением вычитания.

в) Для доказательства тождества $(-a)(-b) = ab$ воспользуемся результатом, полученным в пункте а), а именно $x \cdot (-y) = -xy$.
Рассмотрим произведение $(-a)(-b)$. Применим свойство из пункта а), где в качестве $x$ выступает $(-a)$, а в качестве $y$ — число $b$: $(-a) \cdot (-b) = -((-a) \cdot b)$
Теперь преобразуем выражение в скобках $(-a) \cdot b$. По коммутативному (переместительному) свойству умножения: $(-a) \cdot b = b \cdot (-a)$.
Снова применяем свойство из пункта а) для $b \cdot (-a)$, где $x=b$ и $y=a$: $b \cdot (-a) = -(b \cdot a) = -ab$.
Значит, $(-a) \cdot b = -ab$.
Подставим этот результат в наше первоначальное выражение: $(-a)(-b) = -(-ab)$
Выражение $-(-ab)$ означает число, противоположное числу $-ab$. По определению, это такое число, которое в сумме с $-ab$ дает 0. Таким числом является $ab$, так как $-ab + ab = 0$. Следовательно, $-(-ab) = ab$.
Таким образом, мы доказали, что $(-a)(-b) = ab$.
Ответ: Тождество $(-a)(-b) = ab$ доказано.

г) Для доказательства тождества $a \cdot 0 = 0$ используем свойство нуля как нейтрального элемента для операции сложения. По определению, для любого числа $n$ верно $n+0=n$. В частности, $0 + 0 = 0$.
Умножим обе части равенства $0 + 0 = 0$ на произвольное число $a$: $a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0$
Применим дистрибутивный закон к левой части равенства: $a \cdot 0 + a \cdot 0 = a \cdot 0$
Обозначим произведение $a \cdot 0$ через $x$. Тогда наше равенство примет вид: $x + x = x$
Прибавим к обеим частям этого равенства число $-x$, противоположное $x$: $(x + x) + (-x) = x + (-x)$
Используем ассоциативный закон для левой части: $x + (x + (-x)) = x + (-x)$
По определению противоположного элемента, $x + (-x) = 0$. Подставим это в обе части равенства: $x + 0 = 0$
По определению нуля как нейтрального элемента сложения, $x + 0 = x$. Таким образом, мы получаем: $x = 0$
Так как мы обозначили $x = a \cdot 0$, мы доказали, что $a \cdot 0 = 0$.
Ответ: Тождество $a \cdot 0 = 0$ доказано.