Номер 42.4, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождественно равны выражения:

42.4 a) $a + 7b$ и $7b + a$;

б) $(x + 4) + y$ и $x + (4 + y)$;

в) $m \cdot 7n$ и $7nm$;

г) $5(c + d) + 3$ и $5c + 5d + 3?

а) Выражения $a + 7b$ и $7b + a$ представляют собой сумму двух слагаемых. Отличие между ними заключается в порядке слагаемых. Равенство этих выражений следует из переместительного свойства сложения, которое утверждает, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Формула этого свойства: $x + y = y + x$.
Ответ: переместительное свойство сложения.

б) В выражениях $(x + 4) + y$ и $x + (4 + y)$ выполняется сложение трех слагаемых, но с разной группировкой. Равенство этих выражений основано на сочетательном свойстве сложения. Оно гласит, что при сложении трех и более чисел их можно группировать в любом порядке. Формула этого свойства: $(x + y) + z = x + (y + z)$.
Ответ: сочетательное свойство сложения.

в) Выражения $m \cdot 7n$ и $7nm$ являются произведениями. В них изменен порядок множителей. Чтобы доказать их равенство, используются два свойства умножения:
1. Переместительное свойство ($x \cdot y = y \cdot x$), которое позволяет менять множители местами.
2. Сочетательное свойство ($(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$), которое позволяет произвольно группировать множители.
Используя эти свойства, можно преобразовать $m \cdot 7n$ в $7nm$.
Ответ: переместительное и сочетательное свойства умножения.

г) Чтобы доказать тождественное равенство выражений $5(c + d) + 3$ и $5c + 5d + 3$, необходимо преобразовать первое из них. Для раскрытия скобок в части выражения $5(c + d)$ применяется распределительное свойство умножения относительно сложения. Это свойство позволяет умножить число на сумму, умножив это число на каждое слагаемое и сложив результаты. Формула этого свойства: $a(b + c) = ab + ac$.
Применив его, получаем: $5(c + d) = 5c + 5d$.
Таким образом, исходное выражение становится $5c + 5d + 3$, что и доказывает равенство.
Ответ: распределительное свойство умножения относительно сложения.