Номер 41.42, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.42 Найдите значение алгебраической дроби:

а) $ \frac{pz + qz + p + q}{pt + qt + p + q} $ при $ p = 2,5, q = 0,5, z = 25, t = 12; $

б) $ \frac{c - d + c^2 - d^2}{c - d + c^2 - 2cd + d^2} $ при $ c = 8, d = -2; $

В) $ \frac{m - n + mx - nx}{m - n + my - ny} $ при $ x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{3}, m = 1256, n = 4516; $

Г) $ \frac{a + b + a^2 - b^2}{a - b + a^2 - 2ab + b^2} $ при $ a = 3, b = 5. $

а) Сначала упростим алгебраическую дробь, разложив числитель и знаменатель на множители методом группировки.

$\frac{pz + qz + p + q}{pt + qt + p + q} = \frac{z(p + q) + 1(p + q)}{t(p + q) + 1(p + q)} = \frac{(p + q)(z + 1)}{(p + q)(t + 1)}$

Так как $p + q = 2,5 + 0,5 = 3 \ne 0$, можно сократить дробь на общий множитель $(p+q)$.

Получаем выражение: $\frac{z + 1}{t + 1}$.

Теперь подставим значения $z = 25$ и $t = 12$:

$\frac{25 + 1}{12 + 1} = \frac{26}{13} = 2$.

Ответ: 2

б) Упростим выражение. В числителе сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$. В знаменателе сгруппируем слагаемые и применим формулу квадрата разности $c^2 - 2cd + d^2 = (c-d)^2$.

$\frac{c - d + c^2 - d^2}{c - d + c^2 - 2cd + d^2} = \frac{(c - d) + (c^2 - d^2)}{(c - d) + (c^2 - 2cd + d^2)} = \frac{(c - d) + (c - d)(c + d)}{(c - d) + (c - d)^2}$

Вынесем общий множитель $(c-d)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(c - d)(1 + c + d)}{(c - d)(1 + c - d)}$

Так как $c - d = 8 - (-2) = 10 \ne 0$, можно сократить дробь на $(c-d)$.

Получаем: $\frac{1 + c + d}{1 + c - d}$.

Подставим значения $c = 8$ и $d = -2$:

$\frac{1 + 8 + (-2)}{1 + 8 - (-2)} = \frac{1 + 8 - 2}{1 + 8 + 2} = \frac{7}{11}$.

Ответ: $\frac{7}{11}$

в) Упростим выражение, вынеся общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

$\frac{m - n + mx - nx}{m - n + my - ny} = \frac{(m - n) + x(m - n)}{(m - n) + y(m - n)} = \frac{(m - n)(1 + x)}{(m - n)(1 + y)}$

Так как $m - n = 1256 - 4516 = -3260 \ne 0$, мы можем сократить дробь на $(m-n)$.

Получаем: $\frac{1 + x}{1 + y}$.

Подставим значения $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{1}{3}$:

$\frac{1 + \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$.

Ответ: $\frac{9}{8}$

г) Упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения и метод группировки.

$\frac{a + b + a^2 - b^2}{a - b + a^2 - 2ab + b^2} = \frac{(a + b) + (a^2 - b^2)}{(a - b) + (a^2 - 2ab + b^2)} = \frac{(a + b) + (a - b)(a + b)}{(a - b) + (a - b)^2}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\frac{(a + b)(1 + a - b)}{(a - b)(1 + a - b)}$

Так как $1 + a - b = 1 + 3 - 5 = -1 \ne 0$, мы можем сократить дробь на $(1+a-b)$.

Получаем: $\frac{a + b}{a - b}$.

Подставим значения $a = 3$ и $b = 5$:

$\frac{3 + 5}{3 - 5} = \frac{8}{-2} = -4$.

Ответ: -4