Номер 41.40, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.40 а) $ \frac{47^3 + 33^3}{47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2} $;

б) $ \frac{23^3 - 11^3}{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2} $;

в) $ \frac{27^3 - 13^3}{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2} $;

г) $ \frac{87^3 + 43^3}{87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2} $.

а)

Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном выражении числитель представляет собой сумму кубов, а знаменатель — неполный квадрат разности.

Применим формулу к числителю, где $a = 47$ и $b = 33$:

$47^3 + 33^3 = (47 + 33)(47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2)$

Теперь подставим это разложение в исходную дробь:

$\frac{47^3 + 33^3}{47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2} = \frac{(47 + 33)(47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2)}{47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2)$:

$\frac{(47 + 33)\cancel{(47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2)}}{\cancel{47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2}} = 47 + 33$

Вычислим результат:

$47 + 33 = 80$

Ответ: $80$

б)

Для решения этого примера используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном выражении числитель — это разность кубов, а знаменатель — неполный квадрат суммы.

Применим формулу к числителю, где $a = 23$ и $b = 11$:

$23^3 - 11^3 = (23 - 11)(23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2)$

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{23^3 - 11^3}{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2} = \frac{(23 - 11)(23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2)}{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2)$:

$\frac{(23 - 11)\cancel{(23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2)}}{\cancel{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2}} = 23 - 11$

Вычислим результат:

$23 - 11 = 12$

Ответ: $12$

в)

Данный пример решается с помощью формулы разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В числителе дроби имеем $27^3 - 13^3$. Положим $a = 27$ и $b = 13$ и применим формулу:

$27^3 - 13^3 = (27 - 13)(27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2)$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{27^3 - 13^3}{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2} = \frac{(27 - 13)(27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2)}{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2}$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{(27 - 13)\cancel{(27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2)}}{\cancel{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2}} = 27 - 13$

Выполним вычитание:

$27 - 13 = 14$

Ответ: $14$

г)

Этот пример решается с помощью формулы суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В числителе дроби находится выражение $87^3 + 43^3$. Положим $a = 87$ и $b = 43$ и применим формулу:

$87^3 + 43^3 = (87 + 43)(87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2)$

Подставим полученное разложение в исходную дробь:

$\frac{87^3 + 43^3}{87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2} = \frac{(87 + 43)(87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2)}{87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2)$:

$\frac{(87 + 43)\cancel{(87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2)}}{\cancel{87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2}} = 87 + 43$

Вычислим сумму:

$87 + 43 = 130$

Ответ: $130$