Номер 41.34, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.34 а) $\frac{4a^3b^3c^3 - 4a^2b^2c^2 + ab^3c}{26a^3c - 13a^2b};$

б) $\frac{40x^2y^6z^4 + 8x^4y^3z^4}{2x^5y^4z + 20x^3y^7z + 50xy^{10}z};$

в) $\frac{36x^2y - 12xy^3}{27x^4yz - 18x^3y^3z + 3x^2y^5z};$

г) $\frac{6a^4b^4c^{11} + 24a^4b^4c^7d^4 + 24a^4b^4c^3d^8}{6a^5b^3c^5d^4 + 3a^5b^3c^9}.$

а)

Дана алгебраическая дробь: $\frac{4a^3bc^3 - 4a^2b^2c^2 + ab^3c}{26a^3c - 13a^2b}$.

Для упрощения дроби необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель: $4a^3bc^3 - 4a^2b^2c^2 + ab^3c$.
Вынесем за скобки общий множитель $abc$:
$abc(4a^2c^2 - 4abc + b^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности, так как его можно представить в виде $(2ac)^2 - 2 \cdot (2ac) \cdot b + b^2$, что соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Следовательно, $4a^2c^2 - 4abc + b^2 = (2ac - b)^2$.
Таким образом, числитель равен $abc(2ac - b)^2$.

2. Разложим на множители знаменатель: $26a^3c - 13a^2b$.
Вынесем за скобки общий множитель $13a^2$:
$13a^2(2ac - b)$.

3. Подставим полученные выражения в дробь и произведем сокращение общих множителей:
$\frac{abc(2ac - b)^2}{13a^2(2ac - b)} = \frac{bc(2ac - b)}{13a}$.

Ответ: $\frac{bc(2ac - b)}{13a}$

б)

Дана алгебраическая дробь: $\frac{40x^2y^6z^4 + 8x^4y^3z^4}{2x^5y^4z + 20x^3y^7z + 50xy^{10}z}$.

1. Разложим на множители числитель: $40x^2y^6z^4 + 8x^4y^3z^4$.
Вынесем за скобки общий множитель $8x^2y^3z^4$:
$8x^2y^3z^4(5y^3 + x^2)$.

2. Разложим на множители знаменатель: $2x^5y^4z + 20x^3y^7z + 50xy^{10}z$.
Вынесем за скобки общий множитель $2xy^4z$:
$2xy^4z(x^4 + 10x^2y^3 + 25y^6)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы, так как его можно представить в виде $(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot (5y^3) + (5y^3)^2$, что соответствует формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Следовательно, $x^4 + 10x^2y^3 + 25y^6 = (x^2 + 5y^3)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $2xy^4z(x^2 + 5y^3)^2$.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим:
$\frac{8x^2y^3z^4(5y^3 + x^2)}{2xy^4z(x^2 + 5y^3)^2} = \frac{8x^2y^3z^4(x^2 + 5y^3)}{2xy^4z(x^2 + 5y^3)^2} = \frac{4xz^3}{y(x^2 + 5y^3)}$.

Ответ: $\frac{4xz^3}{y(x^2 + 5y^3)}$

в)

Дана алгебраическая дробь: $\frac{36x^2y - 12xy^3}{27x^4yz - 18x^3y^3z + 3x^2y^5z}$.

1. Разложим на множители числитель: $36x^2y - 12xy^3$.
Вынесем за скобки общий множитель $12xy$:
$12xy(3x - y^2)$.

2. Разложим на множители знаменатель: $27x^4yz - 18x^3y^3z + 3x^2y^5z$.
Вынесем за скобки общий множитель $3x^2yz$:
$3x^2yz(9x^2 - 6xy^2 + y^4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot y^2 + (y^2)^2 = (3x - y^2)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $3x^2yz(3x - y^2)^2$.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим:
$\frac{12xy(3x - y^2)}{3x^2yz(3x - y^2)^2} = \frac{4}{xz(3x - y^2)}$.

Ответ: $\frac{4}{xz(3x - y^2)}$

г)

Дана алгебраическая дробь: $\frac{6a^4b^4c^{11} + 24a^4b^4c^7d^4 + 24a^4b^4c^3d^8}{6a^5b^3c^5d^4 + 3a^5b^3c^9}$.

1. Разложим на множители числитель: $6a^4b^4c^{11} + 24a^4b^4c^7d^4 + 24a^4b^4c^3d^8$.
Вынесем за скобки общий множитель $6a^4b^4c^3$:
$6a^4b^4c^3(c^8 + 4c^4d^4 + 4d^8)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $(c^4)^2 + 2 \cdot c^4 \cdot (2d^4) + (2d^4)^2 = (c^4 + 2d^4)^2$.
Таким образом, числитель равен $6a^4b^4c^3(c^4 + 2d^4)^2$.

2. Разложим на множители знаменатель: $6a^5b^3c^5d^4 + 3a^5b^3c^9$.
Вынесем за скобки общий множитель $3a^5b^3c^5$:
$3a^5b^3c^5(2d^4 + c^4)$.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим:
$\frac{6a^4b^4c^3(c^4 + 2d^4)^2}{3a^5b^3c^5(2d^4 + c^4)} = \frac{6a^4b^4c^3(c^4 + 2d^4)^2}{3a^5b^3c^5(c^4 + 2d^4)} = \frac{2b(c^4 + 2d^4)}{ac^2}$.

Ответ: $\frac{2b(c^4 + 2d^4)}{ac^2}$