Номер 41.30, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.30 Найдите значение выражения:

а) $\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9}$ при $a = 15;$

Б) $\frac{c^3 + 64}{3c^2 - 12c + 48}$ при $c = 5;$

В) $\frac{b^2 + 2b + 4}{b^3 - 8}$ при $b = \frac{1}{3};$

Г) $\frac{d^2 - 5d + 25}{2d^3 + 250}$ при $d = -4,5.$

а)

Дано выражение $ \frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9} $ при $ a = 15 $.
Для решения сначала упростим данное алгебраическое выражение. Числитель дроби представляет собой сумму кубов, так как $ 27 = 3^3 $. Воспользуемся формулой суммы кубов: $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $.
Применив эту формулу к числителю, получим:
$ a^3 + 27 = a^3 + 3^3 = (a+3)(a^2 - a \cdot 3 + 3^2) = (a+3)(a^2 - 3a + 9) $.
Теперь подставим это разложение в исходную дробь:
$ \frac{(a+3)(a^2 - 3a + 9)}{a^2 - 3a + 9} $
Можно заметить, что выражение $ (a^2 - 3a + 9) $ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Мы можем сократить дробь на этот множитель, так как он никогда не равен нулю (дискриминант этого квадратного трехчлена $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0 $).
После сокращения получаем простое выражение: $ a+3 $.
Теперь подставим в него заданное значение $ a = 15 $:
$ 15 + 3 = 18 $.

Ответ: $18$

б)

Дано выражение $ \frac{c^3 + 64}{3c^2 - 12c + 48} $ при $ c = 5 $.
Упростим выражение. В числителе стоит сумма кубов: $ c^3 + 64 = c^3 + 4^3 $.
По формуле суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $ разложим числитель:
$ c^3 + 4^3 = (c+4)(c^2 - 4c + 16) $.
В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки:
$ 3c^2 - 12c + 48 = 3(c^2 - 4c + 16) $.
Теперь подставим полученные выражения в дробь:
$ \frac{(c+4)(c^2 - 4c + 16)}{3(c^2 - 4c + 16)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (c^2 - 4c + 16) $. Этот множитель не равен нулю, так как его дискриминант $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0 $.
После сокращения получаем: $ \frac{c+4}{3} $.
Подставим значение $ c = 5 $:
$ \frac{5+4}{3} = \frac{9}{3} = 3 $.

Ответ: $3$

в)

Дано выражение $ \frac{b^2 + 2b + 4}{b^3 - 8} $ при $ b = \frac{1}{3} $.
Упростим выражение. Знаменатель дроби $ b^3 - 8 $ является разностью кубов: $ b^3 - 2^3 $.
Воспользуемся формулой разности кубов: $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $.
$ b^3 - 2^3 = (b-2)(b^2 + b \cdot 2 + 2^2) = (b-2)(b^2 + 2b + 4) $.
Подставим разложение в исходную дробь:
$ \frac{b^2 + 2b + 4}{(b-2)(b^2 + 2b + 4)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (b^2 + 2b + 4) $, который не равен нулю (дискриминант $ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0 $).
После сокращения получим: $ \frac{1}{b-2} $.
Теперь подставим значение $ b = \frac{1}{3} $:
$ \frac{1}{\frac{1}{3} - 2} = \frac{1}{\frac{1}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{1}{-\frac{5}{3}} = 1 \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{3}{5} $.

Ответ: $-\frac{3}{5}$

г)

Дано выражение $ \frac{d^2 - 5d + 25}{2d^3 + 250} $ при $ d = -4,5 $.
Упростим выражение. Сначала в знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки:
$ 2d^3 + 250 = 2(d^3 + 125) $.
Выражение в скобках $ d^3 + 125 $ является суммой кубов: $ d^3 + 5^3 $.
По формуле суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $ разложим $ d^3 + 5^3 $:
$ (d+5)(d^2 - d \cdot 5 + 5^2) = (d+5)(d^2 - 5d + 25) $.
Таким образом, весь знаменатель равен $ 2(d+5)(d^2 - 5d + 25) $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{d^2 - 5d + 25}{2(d+5)(d^2 - 5d + 25)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (d^2 - 5d + 25) $, который не равен нулю (дискриминант $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 25 - 100 = -75 < 0 $).
После сокращения получим: $ \frac{1}{2(d+5)} $.
Подставим значение $ d = -4,5 $:
$ \frac{1}{2(-4,5 + 5)} = \frac{1}{2(0,5)} = \frac{1}{1} = 1 $.

Ответ: $1$