Номер 41.26, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.26 a) $\frac{3qp^2 - 27q}{27q - p^3q}$;

Б) $\frac{x^6 - y^6}{x^3 + y^3}$;

В) $\frac{8mn^2 - 2m}{8mn^4 + mn}$;

Г) $\frac{y^6 + y^3}{y^6 - 1}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{3qp^2 - 27q}{27q - p^3q}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $3q$ за скобки: $3qp^2 - 27q = 3q(p^2 - 9)$. Выражение в скобках является разностью квадратов $p^2 - 3^2$, которую можно разложить как $(p-3)(p+3)$. Таким образом, числитель равен $3q(p-3)(p+3)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $q$ за скобки: $27q - p^3q = q(27 - p^3)$. Выражение в скобках является разностью кубов $3^3 - p^3$, которую можно разложить как $(3-p)(3^2 + 3p + p^2) = (3-p)(9+3p+p^2)$. Таким образом, знаменатель равен $q(3-p)(9+3p+p^2)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{3q(p-3)(p+3)}{q(3-p)(9+3p+p^2)}$.

Заметим, что $(p-3) = -(3-p)$. Заменим это в числителе: $\frac{3q(-(3-p))(p+3)}{q(3-p)(9+3p+p^2)}$.

Сократим общие множители $q$ и $(3-p)$. Получим: $\frac{-3(p+3)}{9+3p+p^2}$.

Ответ: $-\frac{3(p+3)}{p^2+3p+9}$

б) Чтобы упростить выражение $\frac{x^6 - y^6}{x^3 + y^3}$, разложим на множители числитель.

Числитель $x^6 - y^6$ можно представить как разность квадратов, так как $x^6 = (x^3)^2$ и $y^6 = (y^3)^2$.

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$.

Подставим это выражение в дробь: $\frac{(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)}{x^3 + y^3}$.

Сократим общий множитель $(x^3 + y^3)$ в числителе и знаменателе.

В результате остается: $x^3 - y^3$.

Ответ: $x^3 - y^3$

в) Чтобы упростить выражение $\frac{8mn^2 - 2m}{8mn^4 + mn}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $2m$: $8mn^2 - 2m = 2m(4n^2 - 1)$. Выражение $4n^2-1$ является разностью квадратов $(2n)^2-1^2$, которая раскладывается как $(2n-1)(2n+1)$. Числитель: $2m(2n-1)(2n+1)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $mn$: $8mn^4 + mn = mn(8n^3 + 1)$. Выражение $8n^3+1$ является суммой кубов $(2n)^3+1^3$, которая раскладывается по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ как $(2n+1)((2n)^2 - 2n \cdot 1 + 1^2) = (2n+1)(4n^2-2n+1)$. Знаменатель: $mn(2n+1)(4n^2-2n+1)$.

Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{2m(2n-1)(2n+1)}{mn(2n+1)(4n^2-2n+1)}$.

Сократим общие множители $m$ и $(2n+1)$. Получим: $\frac{2(2n-1)}{n(4n^2-2n+1)}$.

Ответ: $\frac{2(2n-1)}{n(4n^2-2n+1)}$

г) Чтобы упростить выражение $\frac{y^6 + y^3}{y^6 - 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $y^3$ за скобки: $y^6 + y^3 = y^3(y^3 + 1)$.

Знаменатель $y^6 - 1$ представим как разность квадратов $(y^3)^2 - 1^2$. Используя формулу разности квадратов, получим: $(y^3-1)(y^3+1)$.

Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{y^3(y^3+1)}{(y^3-1)(y^3+1)}$.

Сократим общий множитель $(y^3+1)$ в числителе и знаменателе.

В результате остается: $\frac{y^3}{y^3-1}$.

Ответ: $\frac{y^3}{y^3-1}$