Номер 41.21, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.21 а) $\frac{x^2 - 4x + 4}{3x - 6}$;

б) $\frac{a^2 + 2a + 1}{-a^2 - a}$;

в) $\frac{4 - 4x}{x^2 - 2x + 1}$;

г) $\frac{3q^2 + 24q}{q^2 + 16q + 64}$.

а)

Дана дробь $\frac{x^2 - 4x + 4}{3x - 6}$.

Для того чтобы упростить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $x^2 - 4x + 4$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=2$, поэтому:

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.

В знаменателе $3x - 6$ вынесем за скобки общий множитель 3:

$3x - 6 = 3(x-2)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x-2)^2}{3(x-2)}$

Сократим общий множитель $(x-2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$):

$\frac{(x-2)(x-2)}{3(x-2)} = \frac{x-2}{3}$.

Ответ: $\frac{x-2}{3}$.

б)

Дана дробь $\frac{a^2 + 2a + 1}{-a^2 - a}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь переменные соответствуют $a$ и $b=1$:

$a^2 + 2a + 1 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = (a+1)^2$.

В знаменателе $-a^2 - a$ вынесем за скобки общий множитель $-a$:

$-a^2 - a = -a(a+1)$.

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{(a+1)^2}{-a(a+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$ (при условии, что $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$, а также $a \neq 0$ из-за множителя $-a$ в знаменателе):

$\frac{(a+1)(a+1)}{-a(a+1)} = \frac{a+1}{-a} = -\frac{a+1}{a}$.

Ответ: $-\frac{a+1}{a}$.

в)

Дана дробь $\frac{4 - 4x}{x^2 - 2x + 1}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе $4 - 4x$ вынесем за скобки общий множитель 4:

$4 - 4x = 4(1 - x)$.

Знаменатель $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности $(x-1)^2$:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{4(1 - x)}{(x-1)^2}$.

Чтобы можно было сократить, заметим, что $1 - x = -(x - 1)$. Перепишем числитель:

$4(1 - x) = -4(x - 1)$.

Дробь теперь выглядит так:

$\frac{-4(x - 1)}{(x-1)^2}$

Сократим дробь на $(x-1)$ (при условии, что $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$):

$\frac{-4(x - 1)}{(x-1)(x-1)} = \frac{-4}{x-1}$.

Ответ: $\frac{-4}{x-1}$.

г)

Дана дробь $\frac{3q^2 + 24q}{q^2 + 16q + 64}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе $3q^2 + 24q$ вынесем за скобки общий множитель $3q$:

$3q^2 + 24q = 3q(q + 8)$.

Знаменатель $q^2 + 16q + 64$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a=q$ и $b=8$:

$q^2 + 16q + 64 = q^2 + 2 \cdot q \cdot 8 + 8^2 = (q+8)^2$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{3q(q + 8)}{(q+8)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(q+8)$ (при условии, что $q+8 \neq 0$, то есть $q \neq -8$):

$\frac{3q(q + 8)}{(q+8)(q+8)} = \frac{3q}{q+8}$.

Ответ: $\frac{3q}{q+8}$.