Номер 41.25, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.25 a) $\frac{1-c^2}{1-c^3}$;

б) $\frac{8t^3+125}{4t^2-25}$;

В) $\frac{b^2-4}{b^3-8}$;

Г) $\frac{16z^2-9}{27-64z^3}$.

а)

Для сокращения дроби $\frac{1 - c^2}{1 - c^3}$ разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Числитель $1 - c^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$1 - c^2 = 1^2 - c^2 = (1 - c)(1 + c)$.
Знаменатель $1 - c^3$ является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$1 - c^3 = 1^3 - c^3 = (1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (1 - c)(1 + c + c^2)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{1 - c^2}{1 - c^3} = \frac{(1 - c)(1 + c)}{(1 - c)(1 + c + c^2)}$.
Сократим общий множитель $(1 - c)$ (при условии $1 - c \neq 0$, то есть $c \neq 1$):
$\frac{\sout{(1 - c)}(1 + c)}{\sout{(1 - c)}(1 + c + c^2)} = \frac{1 + c}{1 + c + c^2}$.

Ответ: $\frac{1 + c}{1 + c + c^2}$.

б)

Для сокращения дроби $\frac{8t^3 + 125}{4t^2 - 25}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $8t^3 + 125$ является суммой кубов. Представим его как $(2t)^3 + 5^3$ и применим формулу $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$8t^3 + 125 = (2t)^3 + 5^3 = (2t + 5)((2t)^2 - 2t \cdot 5 + 5^2) = (2t + 5)(4t^2 - 10t + 25)$.
Знаменатель $4t^2 - 25$ является разностью квадратов. Представим его как $(2t)^2 - 5^2$ и применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$4t^2 - 25 = (2t)^2 - 5^2 = (2t - 5)(2t + 5)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{8t^3 + 125}{4t^2 - 25} = \frac{(2t + 5)(4t^2 - 10t + 25)}{(2t - 5)(2t + 5)}$.
Сократим общий множитель $(2t + 5)$ (при условии $2t + 5 \neq 0$, то есть $t \neq -2.5$):
$\frac{\sout{(2t + 5)}(4t^2 - 10t + 25)}{(2t - 5)\sout{(2t + 5)}} = \frac{4t^2 - 10t + 25}{2t - 5}$.

Ответ: $\frac{4t^2 - 10t + 25}{2t - 5}$.

в)

Для сокращения дроби $\frac{b^2 - 4}{b^3 - 8}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $b^2 - 4$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$b^2 - 4 = b^2 - 2^2 = (b - 2)(b + 2)$.
Знаменатель $b^3 - 8$ является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$b^3 - 8 = b^3 - 2^3 = (b - 2)(b^2 + b \cdot 2 + 2^2) = (b - 2)(b^2 + 2b + 4)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{b^2 - 4}{b^3 - 8} = \frac{(b - 2)(b + 2)}{(b - 2)(b^2 + 2b + 4)}$.
Сократим общий множитель $(b - 2)$ (при условии $b - 2 \neq 0$, то есть $b \neq 2$):
$\frac{\sout{(b - 2)}(b + 2)}{\sout{(b - 2)}(b^2 + 2b + 4)} = \frac{b + 2}{b^2 + 2b + 4}$.

Ответ: $\frac{b + 2}{b^2 + 2b + 4}$.

г)

Для сокращения дроби $\frac{16z^2 - 9}{27 - 64z^3}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $16z^2 - 9$ является разностью квадратов. Представим его как $(4z)^2 - 3^2$ и применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$16z^2 - 9 = (4z - 3)(4z + 3)$.
Знаменатель $27 - 64z^3$ является разностью кубов. Представим его как $3^3 - (4z)^3$ и применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$27 - 64z^3 = (3 - 4z)(3^2 + 3 \cdot 4z + (4z)^2) = (3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{16z^2 - 9}{27 - 64z^3} = \frac{(4z - 3)(4z + 3)}{(3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)}$.
Заметим, что множитель в знаменателе $(3 - 4z)$ можно представить как $-(4z - 3)$.
$\frac{(4z - 3)(4z + 3)}{-(4z - 3)(9 + 12z + 16z^2)}$.
Сократим общий множитель $(4z - 3)$ (при условии $4z - 3 \neq 0$, то есть $z \neq \frac{3}{4}$):
$\frac{\sout{(4z - 3)}(4z + 3)}{-\sout{(4z - 3)}(9 + 12z + 16z^2)} = \frac{4z + 3}{-(9 + 12z + 16z^2)} = -\frac{4z + 3}{16z^2 + 12z + 9}$.

Ответ: $-\frac{4z + 3}{16z^2 + 12z + 9}$.