Номер 41.24, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.24 a) $\frac{(a^2 - b^2)^2}{a^2 + 2ab + b^2}$;

б) $\frac{7x^2 y^2 - 14xy^3 + 7y^4}{x^4 - 2x^2 y^2 + y^4}$;

в) $\frac{p^2 - 2pq + q^2}{(q^2 - p^2)^2}$;

г) $\frac{m^4 - 2m^2 n^2 + n^4}{6m^3 n + 12m^2 n^2 + 6n^3 m}$.

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{(a^2 - b^2)^2}{a^2 + 2ab + b^2} $, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель представляет собой квадрат разности квадратов. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ (a^2 - b^2)^2 = ((a-b)(a+b))^2 = (a-b)^2(a+b)^2 $

Знаменатель $ a^2 + 2ab + b^2 $ является полным квадратом суммы: $ (a+b)^2 $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{(a-b)^2(a+b)^2}{(a+b)^2} $

Сократим общий множитель $ (a+b)^2 $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ a+b \neq 0 $).

В результате получаем:

$ (a-b)^2 $

Ответ: $ (a-b)^2 $

б)

Упростим выражение $ \frac{7x^2y^2 - 14xy^3 + 7y^4}{x^4 - 2x^2y^2 + y^4} $.

Сначала разложим на множители числитель. Вынесем за скобки общий множитель $ 7y^2 $:

$ 7x^2y^2 - 14xy^3 + 7y^4 = 7y^2(x^2 - 2xy + y^2) $

Выражение в скобках $ x^2 - 2xy + y^2 $ — это квадрат разности, то есть $ (x-y)^2 $. Таким образом, числитель равен $ 7y^2(x-y)^2 $.

Теперь разложим на множители знаменатель. Выражение $ x^4 - 2x^2y^2 + y^4 $ является квадратом разности выражений $ x^2 $ и $ y^2 $:

$ x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 - y^2)^2 $

Применив формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $ к выражению в скобках, получим:

$ (x^2 - y^2)^2 = ((x-y)(x+y))^2 = (x-y)^2(x+y)^2 $

Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{7y^2(x-y)^2}{(x-y)^2(x+y)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x-y)^2 $ (при условии, что $ x \neq y $):

$ \frac{7y^2}{(x+y)^2} $

Ответ: $ \frac{7y^2}{(x+y)^2} $

в)

Упростим выражение $ \frac{p^2 - 2pq + q^2}{(q^2 - p^2)^2} $.

Числитель $ p^2 - 2pq + q^2 $ является формулой квадрата разности: $ (p-q)^2 $.

В знаменателе $ (q^2 - p^2)^2 $ сначала разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов $ q^2 - p^2 = (q-p)(q+p) $:

$ (q^2 - p^2)^2 = ((q-p)(q+p))^2 = (q-p)^2(q+p)^2 $

Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(p-q)^2}{(q-p)^2(q+p)^2} $

Так как $ (p-q)^2 = (-(q-p))^2 = (-1)^2(q-p)^2 = (q-p)^2 $, мы можем заменить $ (p-q)^2 $ на $ (q-p)^2 $:

$ \frac{(q-p)^2}{(q-p)^2(q+p)^2} $

Сократим общий множитель $ (q-p)^2 $ (при условии, что $ q \neq p $):

$ \frac{1}{(q+p)^2} $

Ответ: $ \frac{1}{(p+q)^2} $

г)

Упростим выражение $ \frac{m^4 - 2m^2n^2 + n^4}{6m^3n + 12m^2n^2 + 6n^3m} $.

Числитель $ m^4 - 2m^2n^2 + n^4 $ является квадратом разности выражений $ m^2 $ и $ n^2 $: $ (m^2 - n^2)^2 $. Разложим его дальше по формуле разности квадратов:

$ (m^2 - n^2)^2 = ((m-n)(m+n))^2 = (m-n)^2(m+n)^2 $

В знаменателе $ 6m^3n + 12m^2n^2 + 6n^3m $ вынесем за скобки общий множитель $ 6mn $:

$ 6mn(m^2 + 2mn + n^2) $

Выражение в скобках $ m^2 + 2mn + n^2 $ является квадратом суммы: $ (m+n)^2 $. Таким образом, знаменатель равен $ 6mn(m+n)^2 $.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(m-n)^2(m+n)^2}{6mn(m+n)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $ (m+n)^2 $ (при условии, что $ m+n \neq 0 $, а также $ m \neq 0, n \neq 0 $):

$ \frac{(m-n)^2}{6mn} $

Ответ: $ \frac{(m-n)^2}{6mn} $