Номер 41.19, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.19 а) $\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b}$;

б) $\frac{(p - q)^2}{p^2 - 2pq + q^2}$;

В) $\frac{x - y}{x^2 - 2xy + y^2}$;

Г) $\frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m + n)^2}$.

а)

Чтобы упростить данную дробь, необходимо заметить, что числитель $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы двух выражений $a$ и $b$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Заменим числитель дроби на соответствующий квадрат суммы:

$$ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{a + b} $$

Теперь сократим полученную дробь на общий множитель $(a + b)$, при условии, что $a + b \neq 0$:

$$ \frac{(a + b)(a + b)}{a + b} = a + b $$

Ответ: $a+b$.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{(p - q)^2}{p^2 - 2pq + q^2}$. Знаменатель $p^2 - 2pq + q^2$ представляет собой полный квадрат разности выражений $p$ и $q$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.

Подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:

$$ \frac{(p - q)^2}{p^2 - 2pq + q^2} = \frac{(p - q)^2}{(p - q)^2} $$

Так как числитель и знаменатель дроби равны (при условии, что $p - q \neq 0$), то их частное равно единице.

$$ \frac{(p - q)^2}{(p - q)^2} = 1 $$

Ответ: $1$.

в)

Чтобы упростить дробь $\frac{x - y}{x^2 - 2xy + y^2}$, обратим внимание на знаменатель. Выражение $x^2 - 2xy + y^2$ является полным квадратом разности $x$ и $y$.

Используем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Заменим знаменатель на квадрат разности:

$$ \frac{x - y}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{x - y}{(x - y)^2} $$

Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$, при условии, что $x - y \neq 0$:

$$ \frac{x - y}{(x - y)(x - y)} = \frac{1}{x - y} $$

Ответ: $\frac{1}{x-y}$.

г)

Рассмотрим дробь $\frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m + n)^2}$. Числитель $m^2 + 2mn + n^2$ представляет собой полный квадрат суммы выражений $m$ и $n$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.

Подставим это выражение в числитель исходной дроби:

$$ \frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m + n)^2} = \frac{(m + n)^2}{(m + n)^2} $$

Поскольку числитель и знаменатель дроби идентичны (при условии, что $m + n \neq 0$), значение дроби равно 1.

$$ \frac{(m + n)^2}{(m + n)^2} = 1 $$

Ответ: $1$.