Номер 41.15, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.15 a) $\frac{x^2 - 9}{3x + 9}$;

б) $\frac{y^2 - 144}{12y - y^2}$;

в) $\frac{4 - d^2}{3d + 6}$;

г) $\frac{c^2 - 5c}{25 - c^2}$.

а) Для того чтобы упростить дробь $\frac{x^2 - 9}{3x + 9}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Числитель $x^2 - 9$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

В знаменателе $3x + 9$ можно вынести за скобки общий множитель 3.
$3x + 9 = 3(x + 3)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{3(x + 3)}$.

Сократим общий множитель $(x+3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$).
$\frac{(x - 3)\cancel{(x + 3)}}{3\cancel{(x + 3)}} = \frac{x - 3}{3}$.

Ответ: $\frac{x-3}{3}$

б) Упростим дробь $\frac{y^2 - 144}{12y - y^2}$.

Числитель $y^2 - 144$ — это разность квадратов.
$y^2 - 144 = y^2 - 12^2 = (y - 12)(y + 12)$.

В знаменателе $12y - y^2$ вынесем за скобки общий множитель $y$.
$12y - y^2 = y(12 - y)$.

Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(y - 12)(y + 12)}{y(12 - y)}$.

Заметим, что выражения $(y - 12)$ и $(12 - y)$ являются противоположными, так как $(12 - y) = -(y - 12)$. Заменим выражение в знаменателе:
$\frac{(y - 12)(y + 12)}{-y(y - 12)}$.

Сократим общий множитель $(y - 12)$ (при условии $y \neq 12$ и $y \neq 0$):
$\frac{\cancel{(y - 12)}(y + 12)}{-y\cancel{(y - 12)}} = \frac{y + 12}{-y} = -\frac{y + 12}{y}$.

Ответ: $-\frac{y+12}{y}$

в) Упростим выражение $\frac{4 - d^2}{3d + 6}$.

Числитель $4 - d^2$ — это разность квадратов.
$4 - d^2 = 2^2 - d^2 = (2 - d)(2 + d)$.

В знаменателе $3d + 6$ вынесем за скобки общий множитель 3.
$3d + 6 = 3(d + 2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(2 - d)(2 + d)}{3(d + 2)}$.

Так как $(2 + d) = (d + 2)$, мы можем сократить этот общий множитель (при $d \neq -2$):
$\frac{(2 - d)\cancel{(2 + d)}}{3\cancel{(d + 2)}} = \frac{2 - d}{3}$.

Ответ: $\frac{2-d}{3}$

г) Упростим дробь $\frac{c^2 - 5c}{25 - c^2}$.

В числителе $c^2 - 5c$ вынесем общий множитель $c$ за скобки.
$c^2 - 5c = c(c - 5)$.

Знаменатель $25 - c^2$ — это разность квадратов.
$25 - c^2 = 5^2 - c^2 = (5 - c)(5 + c)$.

Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{c(c - 5)}{(5 - c)(5 + c)}$.

Выражения $(c - 5)$ и $(5 - c)$ противоположны, так как $(c - 5) = -(5 - c)$. Сделаем замену в числителе:
$\frac{-c(5 - c)}{(5 - c)(5 + c)}$.

Сократим общий множитель $(5 - c)$ (при $c \neq 5$ и $c \neq -5$):
$\frac{-c\cancel{(5 - c)}}{\cancel{(5 - c)}(5 + c)} = \frac{-c}{5 + c} = -\frac{c}{c+5}$.

Ответ: $-\frac{c}{c+5}$