Номер 41.17, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.17 Найдите значение выражения:

a) $\frac{a^3 - 8}{a^2 + 2a + 4}$;

В) $\frac{x^3 + 1}{x^2 - x + 1}$;

б) $\frac{1 - 5y + 25y^2}{125y^3 + 1}$;

г) $\frac{4t^2 + 2t + 1}{8t^3 + 1}$.

а)

Для упрощения дроби $\frac{a^3 - 8}{a^2 + 2a + 4}$ разложим числитель на множители.

Числитель $a^3 - 8$ представляет собой разность кубов $a^3 - 2^3$. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Применив формулу, получаем: $a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь: $\frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{a^2 + 2a + 4}$

Сократим общий множитель $(a^2 + 2a + 4)$ в числителе и знаменателе. $\frac{(a - 2)\cancel{(a^2 + 2a + 4)}}{\cancel{a^2 + 2a + 4}} = a - 2$.

Ответ: $a - 2$.

б)

Для упрощения дроби $\frac{1 - 5y + 25y^2}{125y^3 + 1}$ разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $125y^3 + 1$ представляет собой сумму кубов $(5y)^3 + 1^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Применив формулу, получаем: $125y^3 + 1 = (5y)^3 + 1^3 = (5y + 1)((5y)^2 - 5y \cdot 1 + 1^2) = (5y + 1)(25y^2 - 5y + 1)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь. Для удобства перепишем числитель как $25y^2 - 5y + 1$. $\frac{25y^2 - 5y + 1}{(5y + 1)(25y^2 - 5y + 1)}$

Сократим общий множитель $(25y^2 - 5y + 1)$ в числителе и знаменателе. $\frac{\cancel{25y^2 - 5y + 1}}{(5y + 1)\cancel{(25y^2 - 5y + 1)}} = \frac{1}{5y + 1}$.

Ответ: $\frac{1}{5y + 1}$.

в)

Для упрощения дроби $\frac{x^3 + 1}{x^2 - x + 1}$ разложим числитель на множители.

Числитель $x^3 + 1$ представляет собой сумму кубов $x^3 + 1^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применив формулу, получаем: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь: $\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1}$

Сократим общий множитель $(x^2 - x + 1)$ в числителе и знаменателе. $\frac{(x + 1)\cancel{(x^2 - x + 1)}}{\cancel{x^2 - x + 1}} = x + 1$.

Ответ: $x + 1$.

г)

Рассмотрим выражение $\frac{4t^2 + 2t + 1}{8t^3 + 1}$. Разложим на множители знаменатель.

Знаменатель $8t^3 + 1$ представляет собой сумму кубов $(2t)^3 + 1^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применив формулу, получаем: $8t^3 + 1 = (2t)^3 + 1^3 = (2t + 1)((2t)^2 - 2t \cdot 1 + 1^2) = (2t + 1)(4t^2 - 2t + 1)$.

Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь: $\frac{4t^2 + 2t + 1}{(2t + 1)(4t^2 - 2t + 1)}$

Числитель $4t^2 + 2t + 1$ и множитель в знаменателе $4t^2 - 2t + 1$ не совпадают. Проверим, можно ли разложить на множители числитель. Дискриминант квадратного трехчлена $4t^2 + 2t + 1$ равен $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, числитель не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Общих множителей у числителя и знаменателя нет, следовательно, дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{4t^2 + 2t + 1}{8t^3 + 1}$.