Номер 41.23, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.23 a) $$$\frac{3x^2 - 6xy + 3y^2}{6x^2 - 6y^2}$$$

Б) $$$\frac{m^2 + 6mn + 9n^2}{4m^2 + 12mn}$$$

В) $$$\frac{40c^2 - 10d^2}{20c^2 + 20cd + 5d^2}$$$

Г) $$$\frac{4n^2 - 4n + 1}{2n - 4n^2}$$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{3x^2 - 6xy + 3y^2}{6x^2 - 6y^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $3x^2 - 6xy + 3y^2 = 3(x^2 - 2xy + y^2)$.
Выражение в скобках является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Следовательно, числитель равен $3(x - y)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель 6 за скобки: $6x^2 - 6y^2 = 6(x^2 - y^2)$.
Выражение в скобках является формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Следовательно, знаменатель равен $6(x - y)(x + y)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общие множители:
$\frac{3(x - y)^2}{6(x - y)(x + y)} = \frac{3(x - y)(x - y)}{6(x - y)(x + y)} = \frac{x - y}{2(x + y)}$.
Ответ: $\frac{x - y}{2(x + y)}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{m^2 + 6mn + 9n^2}{4m^2 + 12mn}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $m^2 + 6mn + 9n^2$ является формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=m$ и $b=3n$.
Следовательно, числитель равен $(m + 3n)^2$.
В знаменателе $4m^2 + 12mn$ вынесем общий множитель $4m$ за скобки.
Знаменатель равен $4m(m + 3n)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{(m + 3n)^2}{4m(m + 3n)} = \frac{(m + 3n)(m + 3n)}{4m(m + 3n)} = \frac{m + 3n}{4m}$.
Ответ: $\frac{m + 3n}{4m}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{40c^2 - 10d^2}{20c^2 + 20cd + 5d^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 10: $10(4c^2 - d^2)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов: $4c^2 - d^2 = (2c)^2 - d^2 = (2c - d)(2c + d)$.
Таким образом, числитель равен $10(2c - d)(2c + d)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 5: $5(4c^2 + 4cd + d^2)$.
Выражение в скобках является квадратом суммы: $4c^2 + 4cd + d^2 = (2c)^2 + 2(2c)(d) + d^2 = (2c + d)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $5(2c + d)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{10(2c - d)(2c + d)}{5(2c + d)^2} = \frac{10(2c - d)(2c + d)}{5(2c + d)(2c + d)} = \frac{2(2c - d)}{2c + d}$.
Ответ: $\frac{2(2c - d)}{2c + d}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{4n^2 - 4n + 1}{2n - 4n^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $4n^2 - 4n + 1$ является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=2n$ и $b=1$.
Следовательно, числитель равен $(2n - 1)^2$.
В знаменателе $2n - 4n^2$ вынесем общий множитель $2n$: $2n(1 - 2n)$.
Чтобы получить множитель, совпадающий с числителем, вынесем $-2n$: $-2n(-1 + 2n) = -2n(2n - 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{(2n - 1)^2}{-2n(2n - 1)} = \frac{2n - 1}{-2n} = -\frac{2n - 1}{2n} = \frac{-(2n - 1)}{2n} = \frac{1 - 2n}{2n}$.
Ответ: $\frac{1 - 2n}{2n}$