Номер 41.16, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.16 a) $ \frac{15a^4b^2 - 15a^2}{45a^4b + 45a^3} $

B) $ \frac{17a^3b + 17a^4c}{51a^2b^2 - 51a^4c^2} $

б) $ \frac{18a^4b - 72a^2b}{48ab^2 - 24a^2b^2} $

г) $ \frac{36a^3b^2c - 36a^3b^3}{48ab^5 - 48ab^3c^2} $

а) $\frac{15a^4b^2 - 15a^2}{45a^4b + 45a^3}$

Для упрощения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $15a^2$ за скобки:
$15a^4b^2 - 15a^2 = 15a^2(a^2b^2 - 1)$.
Выражение в скобках $a^2b^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^2b^2 - 1 = (ab)^2 - 1^2 = (ab-1)(ab+1)$.
Таким образом, числитель равен $15a^2(ab-1)(ab+1)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $45a^3$ за скобки:
$45a^4b + 45a^3 = 45a^3(ab+1)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{15a^2(ab-1)(ab+1)}{45a^3(ab+1)}$.

Теперь сократим общие множители. Сокращаем числовые коэффициенты $15$ и $45$ на $15$, получаем $\frac{1}{3}$. Сокращаем степени переменной $a$: $\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$. Сокращаем общий множитель в скобках $(ab+1)$.

После сокращения всех общих множителей получаем:
$\frac{1 \cdot (ab-1)}{3 \cdot a} = \frac{ab-1}{3a}$.

Ответ: $\frac{ab-1}{3a}$

б) $\frac{18a^4b - 72a^2b}{48ab^2 - 24a^2b^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $18a^2b$:
$18a^4b - 72a^2b = 18a^2b(a^2 - 4)$.
Выражение в скобках $a^2 - 4$ является разностью квадратов: $a^2 - 2^2 = (a-2)(a+2)$.
Итак, числитель равен $18a^2b(a-2)(a+2)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $24ab^2$:
$48ab^2 - 24a^2b^2 = 24ab^2(2 - a)$.
Заметим, что $2 - a = -(a - 2)$. Тогда знаменатель можно записать как $-24ab^2(a-2)$.

Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{18a^2b(a-2)(a+2)}{-24ab^2(a-2)}$.

Сокращаем общие множители: $\frac{18}{-24} = -\frac{3}{4}$, $\frac{a^2}{a}=a$, $\frac{b}{b^2}=\frac{1}{b}$, и $(a-2)$.

В результате получаем:
$-\frac{3 \cdot a \cdot (a+2)}{4 \cdot b} = -\frac{3a(a+2)}{4b}$.

Ответ: $-\frac{3a(a+2)}{4b}$

в) $\frac{17a^3b + 17a^4c}{51a^2b^2 - 51a^4c^2}$

Упростим дробь, разложив ее числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $17a^3$ за скобки:
$17a^3b + 17a^4c = 17a^3(b + ac)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $51a^2$ за скобки:
$51a^2b^2 - 51a^4c^2 = 51a^2(b^2 - a^2c^2)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $b^2 - (ac)^2$, которую можно разложить как $(b-ac)(b+ac)$.
Таким образом, знаменатель равен $51a^2(b-ac)(b+ac)$.

Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{17a^3(b + ac)}{51a^2(b-ac)(b+ac)}$.

Сократим общие множители: $\frac{17}{51} = \frac{1}{3}$, $\frac{a^3}{a^2}=a$, и $(b+ac)$.

После сокращения получаем:
$\frac{a}{3(b-ac)}$.

Ответ: $\frac{a}{3(b-ac)}$

г) $\frac{36a^3b^2c - 36a^3b^3}{48ab^5 - 48ab^3c^2}$

Для упрощения выражения разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $36a^3b^2$:
$36a^3b^2c - 36a^3b^3 = 36a^3b^2(c - b)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $48ab^3$:
$48ab^5 - 48ab^3c^2 = 48ab^3(b^2 - c^2)$.
Выражение в скобках $b^2 - c^2$ является разностью квадратов и раскладывается как $(b-c)(b+c)$.
Знаменатель равен $48ab^3(b-c)(b+c)$.

Чтобы упростить сокращение, представим множитель в числителе $(c-b)$ как $-(b-c)$.
Дробь примет вид: $\frac{-36a^3b^2(b-c)}{48ab^3(b-c)(b+c)}$.

Сократим общие множители. Коэффициенты: $\frac{-36}{48} = -\frac{3}{4}$. Переменные: $\frac{a^3}{a} = a^2$ и $\frac{b^2}{b^3} = \frac{1}{b}$. Также сокращаем множитель $(b-c)$.

Собирая оставшиеся множители, получаем:
$\frac{-3a^2}{4b(b+c)} = -\frac{3a^2}{4b(b+c)}$.

Ответ: $-\frac{3a^2}{4b(b+c)}$