Номер 41.32, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.32 a) $\frac{32a^4b^5c - 2a^4b^3c^3}{a^3b^4c^3 - 4a^3b^5c^2}$;

б) $\frac{x^ny^{2n+1} + x^{n+1}y^{2n}}{x^{2n+2}y^n - x^{2n}y^{n+2}}$;

В) $\frac{6a^2b^4c^4 - 9a^2b^3c^5}{54abc^7 - 24ab^3c^5}$;

Г) $\frac{2x^{n+2}y^{n-1} + 3x^{n+1}y^n}{9x^{n-1}y^{n+3} - 4x^{n+1}y^{n+1}}$.

а) $\frac{32a^4b^5c - 2a^4b^3c^3}{a^3b^4c^3 - 4a^3b^5c^2}$

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общим множителем является $2a^4b^3c$.
$32a^4b^5c - 2a^4b^3c^3 = 2a^4b^3c(16b^2 - c^2)$
Выражение в скобках является разностью квадратов: $16b^2 - c^2 = (4b)^2 - c^2 = (4b-c)(4b+c)$.
Числитель равен: $2a^4b^3c(4b-c)(4b+c)$.

2. Вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Общим множителем является $a^3b^4c^2$.
$a^3b^4c^3 - 4a^3b^5c^2 = a^3b^4c^2(c - 4b)$
Заметим, что $c - 4b = -(4b - c)$.
Знаменатель равен: $-a^3b^4c^2(4b - c)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители.
$\frac{2a^4b^3c(4b-c)(4b+c)}{-a^3b^4c^2(4b-c)} = \frac{2a(4b+c)}{-bc} = -\frac{2a(4b+c)}{bc}$

Ответ: $-\frac{2a(4b+c)}{bc}$

б) $\frac{x^ny^{2n+1} + x^{n+1}y^{2n}}{x^{2n+2}y^n - x^{2n}y^{n+2}}$

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общим множителем является $x^ny^{2n}$.
$x^ny^{2n+1} + x^{n+1}y^{2n} = x^ny^{2n} \cdot y + x^n \cdot x \cdot y^{2n} = x^ny^{2n}(y+x)$

2. Вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Общим множителем является $x^{2n}y^n$.
$x^{2n+2}y^n - x^{2n}y^{n+2} = x^{2n}x^2y^n - x^{2n}y^ny^2 = x^{2n}y^n(x^2 - y^2)$
Выражение в скобках является разностью квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Знаменатель равен: $x^{2n}y^n(x-y)(x+y)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители.
$\frac{x^ny^{2n}(y+x)}{x^{2n}y^n(x-y)(x+y)} = \frac{x^ny^{2n}}{x^{2n}y^n(x-y)} = \frac{y^{2n-n}}{x^{2n-n}(x-y)} = \frac{y^n}{x^n(x-y)}$

Ответ: $\frac{y^n}{x^n(x-y)}$

в) $\frac{6a^2b^4c^4 - 9a^2b^3c^5}{54abc^7 - 24ab^3c^5}$

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общим множителем является $3a^2b^3c^4$.
$6a^2b^4c^4 - 9a^2b^3c^5 = 3a^2b^3c^4(2b - 3c)$

2. Вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Общим множителем является $6abc^5$.
$54abc^7 - 24ab^3c^5 = 6abc^5(9c^2 - 4b^2)$
Выражение в скобках является разностью квадратов: $9c^2 - 4b^2 = (3c)^2 - (2b)^2 = (3c-2b)(3c+2b)$.
Заметим, что $3c-2b = -(2b-3c)$.
Знаменатель равен: $6abc^5(3c-2b)(3c+2b) = -6abc^5(2b-3c)(2b+3c)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители.
$\frac{3a^2b^3c^4(2b - 3c)}{-6abc^5(2b-3c)(2b+3c)} = \frac{3a^2b^3c^4}{-6abc^5(2b+3c)} = \frac{ab^2}{-2c(2b+3c)} = -\frac{ab^2}{2c(2b+3c)}$

Ответ: $-\frac{ab^2}{2c(2b+3c)}$

г) $\frac{2x^{n+2}y^{n-1} + 3x^{n+1}y^n}{9x^{n-1}y^{n+3} - 4x^{n+1}y^{n+1}}$

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе. Наименьшая степень $x$ это $x^{n+1}$, а наименьшая степень $y$ это $y^{n-1}$. Общий множитель $x^{n+1}y^{n-1}$.
$2x^{n+2}y^{n-1} + 3x^{n+1}y^n = 2x^{n+1} \cdot x \cdot y^{n-1} + 3x^{n+1} \cdot y^{n-1} \cdot y = x^{n+1}y^{n-1}(2x + 3y)$

2. Вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Наименьшая степень $x$ это $x^{n-1}$, а наименьшая степень $y$ это $y^{n+1}$. Общий множитель $x^{n-1}y^{n+1}$.
$9x^{n-1}y^{n+3} - 4x^{n+1}y^{n+1} = 9x^{n-1}y^{n+1} \cdot y^2 - 4x^{n-1} \cdot x^2 \cdot y^{n+1} = x^{n-1}y^{n+1}(9y^2 - 4x^2)$
Выражение в скобках является разностью квадратов: $9y^2 - 4x^2 = (3y)^2 - (2x)^2 = (3y-2x)(3y+2x)$.
Знаменатель равен: $x^{n-1}y^{n+1}(3y-2x)(3y+2x)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители.
$\frac{x^{n+1}y^{n-1}(2x + 3y)}{x^{n-1}y^{n+1}(3y-2x)(3y+2x)} = \frac{x^{n+1}y^{n-1}}{x^{n-1}y^{n+1}(3y-2x)}$
Сократим степени:
$\frac{x^{(n+1)-(n-1)}}{y^{(n+1)-(n-1)}(3y-2x)} = \frac{x^{n+1-n+1}}{y^{n+1-n+1}(3y-2x)} = \frac{x^2}{y^2(3y-2x)}$

Ответ: $\frac{x^2}{y^2(3y-2x)}$