Номер 41.36, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.36 a) $\frac{x^{3n} - x^n y^{2n}}{3x^{3n} + 6x^{2n} y^n + 3x^n y^{2n}}$

б) $\frac{a^{3n-1}b^{n+1} - 4a^{n-1}b^{n+1}}{4a^n b^{n-1} - 4a^{2n}b^{n-1} + a^{3n}b^{n-1}}$

в) $\frac{2a^{n+1} - 4a^{2n+1} + 2a^{3n+1}}{4a^{3n} - 4a^n}$

г) $\frac{54xy^{3n}z^n - 72x^{n+1}y^{2n}z^n + 24x^{2n+1}y^n z^n}{12x^{2n+2}y^{n-1}z^{n+1} - 27x^2 y^{3n-1}z^{n+1}}$

а) Чтобы упростить дробь $\frac{x^{3n} - x^n y^{2n}}{3x^{3n} + 6x^{2n}y^n + 3x^ny^{2n}}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $x^n$ за скобки: $x^{3n} - x^n y^{2n} = x^n(x^{2n} - y^{2n})$. Выражение в скобках является разностью квадратов $(x^n)^2 - (y^n)^2$, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Получаем: $x^n(x^n - y^n)(x^n + y^n)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $3x^n$ за скобки: $3x^{3n} + 6x^{2n}y^n + 3x^ny^{2n} = 3x^n(x^{2n} + 2x^ny^n + y^{2n})$. Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(x^n)^2 + 2(x^n)(y^n) + (y^n)^2$, который сворачивается по формуле $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.
Получаем: $3x^n(x^n + y^n)^2$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общие множители $x^n$ и $(x^n + y^n)$:
$\frac{x^n(x^n - y^n)(x^n + y^n)}{3x^n(x^n + y^n)^2} = \frac{x^n - y^n}{3(x^n + y^n)}$.
Ответ: $\frac{x^n - y^n}{3(x^n + y^n)}$

б) Упростим выражение $\frac{a^{3n-1}b^{n+1} - 4a^{n-1}b^{n+1}}{4a^nb^{n-1} - 4a^{2n}b^{n-1} + a^{3n}b^{n-1}}$.
В числителе вынесем общий множитель $a^{n-1}b^{n+1}$ за скобки: $a^{n-1}b^{n+1}(a^{(3n-1)-(n-1)} - 4) = a^{n-1}b^{n+1}(a^{2n} - 4)$. Выражение в скобках — разность квадратов $(a^n)^2 - 2^2$.
Получаем: $a^{n-1}b^{n+1}(a^n - 2)(a^n + 2)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $a^nb^{n-1}$ за скобки: $a^nb^{n-1}(4 - 4a^n + a^{2n})$. Выражение в скобках — полный квадрат разности $a^{2n} - 4a^n + 4 = (a^n-2)^2$.
Получаем: $a^nb^{n-1}(a^n-2)^2$.
Подставим в дробь и сократим:
$\frac{a^{n-1}b^{n+1}(a^n - 2)(a^n + 2)}{a^n b^{n-1}(a^n - 2)^2} = \frac{b^{(n+1)-(n-1)} (a^n+2)}{a^{n-(n-1)}(a^n-2)} = \frac{b^2(a^n+2)}{a(a^n-2)}$.
Ответ: $\frac{b^2(a^n+2)}{a(a^n-2)}$

в) Упростим выражение $\frac{2a^{n+1} - 4a^{2n+1} + 2a^{3n+1}}{4a^{3n} - 4a^n}$.
В числителе вынесем общий множитель $2a^{n+1}$: $2a^{n+1}(1 - 2a^n + a^{2n})$. Выражение в скобках — это полный квадрат разности $a^{2n} - 2a^n + 1 = (a^n-1)^2$.
Получаем: $2a^{n+1}(a^n-1)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель $4a^n$: $4a^n(a^{2n}-1)$. Выражение в скобках — это разность квадратов $a^{2n}-1=(a^n-1)(a^n+1)$.
Получаем: $4a^n(a^n-1)(a^n+1)$.
Подставим в дробь и сократим:
$\frac{2a^{n+1}(a^n-1)^2}{4a^n(a^n-1)(a^n+1)} = \frac{a^{(n+1)-n}(a^n-1)}{2(a^n+1)} = \frac{a(a^n-1)}{2(a^n+1)}$.
Ответ: $\frac{a(a^n-1)}{2(a^n+1)}$

г) Упростим выражение $\frac{54xy^{3n}z^n - 72x^{n+1}y^{2n}z^n + 24x^{2n+1}y^nz^n}{12x^{2n+2}y^{n-1}z^{n+1} - 27x^2y^{3n-1}z^{n+1}}$.
В числителе вынесем общий множитель $6xy^nz^n$: $6xy^nz^n(9y^{2n} - 12x^ny^n + 4x^{2n})$. Выражение в скобках — это полный квадрат разности $4x^{2n} - 12x^ny^n + 9y^{2n} = (2x^n - 3y^n)^2$.
Получаем: $6xy^nz^n(2x^n - 3y^n)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель $3x^2y^{n-1}z^{n+1}$: $3x^2y^{n-1}z^{n+1}(4x^{2n} - 9y^{2n})$. Выражение в скобках — это разность квадратов $(2x^n)^2 - (3y^n)^2 = (2x^n - 3y^n)(2x^n + 3y^n)$.
Получаем: $3x^2y^{n-1}z^{n+1}(2x^n - 3y^n)(2x^n + 3y^n)$.
Подставим в дробь и сократим:
$\frac{6xy^nz^n(2x^n - 3y^n)^2}{3x^2y^{n-1}z^{n+1}(2x^n - 3y^n)(2x^n + 3y^n)} = \frac{2 \cdot y^{n-(n-1)} \cdot (2x^n-3y^n)}{x^{2-1} \cdot z^{(n+1)-n} \cdot (2x^n+3y^n)} = \frac{2y(2x^n-3y^n)}{xz(2x^n+3y^n)}$.
Ответ: $\frac{2y(2x^n - 3y^n)}{xz(2x^n + 3y^n)}$