Номер 41.37, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.37 a) $\frac{a^2 - ab - bc - c^2}{b^2 - a^2 + 2ac - c^2}$;

б) $\frac{2xy - 3 + 3x - 2y}{9 + 12y + 4y^2}$;

В) $\frac{ax^2 - 2x^2 - ay^2 + 2y^2}{ax + ay - 2x - 2y}$;

Г) $\frac{3xy - 2x - 3y + 2}{x^2 - 2x + 1}$.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{a^2 - ab - bc - c^2}{b^2 - a^2 + 2ac - c^2}$, разложим её числитель и знаменатель на множители.

Сначала разложим числитель, используя метод группировки и формулу разности квадратов:

$a^2 - ab - bc - c^2 = (a^2 - c^2) - (ab + bc) = (a-c)(a+c) - b(a+c) = (a+c)(a-c-b)$.

Теперь разложим знаменатель, используя формулу квадрата разности и разности квадратов:

$b^2 - a^2 + 2ac - c^2 = b^2 - (a^2 - 2ac + c^2) = b^2 - (a-c)^2 = (b-(a-c))(b+(a-c)) = (b-a+c)(b+a-c)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(a+c)(a-c-b)}{(b-a+c)(b+a-c)}$

Заметим, что множитель $(b-a+c)$ в знаменателе можно представить как $-(a-b-c)$. Множитель $(a-c-b)$ в числителе можно представить как $(a-b-c)$. Тогда:

$\frac{(a+c)(a-b-c)}{-(a-b-c)(a+b-c)}$

Сократим общий множитель $(a-b-c)$:

$\frac{a+c}{-(a+b-c)} = \frac{a+c}{c-a-b}$

Ответ: $\frac{a+c}{c-a-b}$

б) Чтобы упростить дробь $\frac{2xy - 3 + 3x - 2y}{9 + 12y + 4y^2}$, разложим её числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель методом группировки:

$2xy - 3 + 3x - 2y = (2xy + 3x) - (2y + 3) = x(2y+3) - 1(2y+3) = (x-1)(2y+3)$.

Знаменатель является полным квадратом суммы:

$9 + 12y + 4y^2 = (3)^2 + 2 \cdot 3 \cdot (2y) + (2y)^2 = (3+2y)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(x-1)(2y+3)}{(2y+3)^2} = \frac{x-1}{2y+3}$

Ответ: $\frac{x-1}{2y+3}$

в) Чтобы упростить дробь $\frac{ax^2 - 2x^2 - ay^2 + 2y^2}{ax + ay - 2x - 2y}$, разложим её числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель методом группировки и по формуле разности квадратов:

$ax^2 - 2x^2 - ay^2 + 2y^2 = (ax^2 - 2x^2) - (ay^2 - 2y^2) = x^2(a-2) - y^2(a-2) = (a-2)(x^2-y^2) = (a-2)(x-y)(x+y)$.

Разложим знаменатель методом группировки:

$ax + ay - 2x - 2y = (ax+ay) - (2x+2y) = a(x+y) - 2(x+y) = (a-2)(x+y)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общие множители:

$\frac{(a-2)(x-y)(x+y)}{(a-2)(x+y)} = x-y$

Ответ: $x-y$

г) Чтобы упростить дробь $\frac{3xy - 2x - 3y + 2}{x^2 - 2x + 1}$, разложим её числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель методом группировки:

$3xy - 2x - 3y + 2 = (3xy - 3y) - (2x - 2) = 3y(x-1) - 2(x-1) = (3y-2)(x-1)$.

Знаменатель является полным квадратом разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(3y-2)(x-1)}{(x-1)^2} = \frac{3y-2}{x-1}$

Ответ: $\frac{3y-2}{x-1}$