Номер 41.33, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.33 а) $\frac{32a^4b - 80a^3b^2 + 50a^2b^3}{20ab^3 - 16a^2b^2};$

б) $\frac{18a^3b^2 + 36ab^4}{96a^2b^5 + 96a^4b^3 + 24a^6b};$

В) $\frac{18a^4b^2 - 30a^3b^3}{75a^2b^5 - 90a^3b^4 + 27a^4b^3};$

Г) $\frac{10a^2b^8 + 60a^4b^6 + 90a^6b^4}{45a^5b + 15a^3b^3}.$

а)

Упростим выражение $\frac{32a^4b - 80a^3b^2 + 50a^2b^3}{20ab^3 - 16a^2b^2}$.

Разложим числитель на множители. Сначала вынесем общий множитель $2a^2b$:
$32a^4b - 80a^3b^2 + 50a^2b^3 = 2a^2b(16a^2 - 40ab + 25b^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(4a - 5b)^2$.
Таким образом, числитель равен $2a^2b(4a - 5b)^2$.

Теперь разложим на множители знаменатель. Вынесем общий множитель $4ab^2$:
$20ab^3 - 16a^2b^2 = 4ab^2(5b - 4a)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим ее. Заметим, что $5b - 4a = -(4a - 5b)$.
$\frac{2a^2b(4a - 5b)^2}{4ab^2(5b - 4a)} = \frac{2a^2b(4a - 5b)^2}{-4ab^2(4a - 5b)} = -\frac{2a^2b(4a-5b)}{4ab^2}$.

Сокращая общие множители, получаем:
$-\frac{a(4a-5b)}{2b} = \frac{a(-(4a-5b))}{2b} = \frac{a(5b-4a)}{2b}$.

Ответ: $\frac{a(5b-4a)}{2b}$

б)

Упростим выражение $\frac{18a^3b^2 + 36ab^4}{96a^2b^5 + 96a^4b^3 + 24a^6b}$.

Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $18ab^2$:
$18a^3b^2 + 36ab^4 = 18ab^2(a^2 + 2b^2)$.

Разложим знаменатель на множители. Вынесем общий множитель $24a^2b$:
$96a^2b^5 + 96a^4b^3 + 24a^6b = 24a^2b(4b^4 + 4a^2b^2 + a^4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(a^2 + 2b^2)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $24a^2b(a^2 + 2b^2)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{18ab^2(a^2 + 2b^2)}{24a^2b(a^2 + 2b^2)^2} = \frac{18}{24} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{b^2}{b} \cdot \frac{a^2 + 2b^2}{(a^2 + 2b^2)^2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{a} \cdot b \cdot \frac{1}{a^2 + 2b^2}$.

Результат умножения:
$\frac{3b}{4a(a^2 + 2b^2)}$.

Ответ: $\frac{3b}{4a(a^2 + 2b^2)}$

в)

Упростим выражение $\frac{18a^4b^2 - 30a^3b^3}{75a^2b^5 - 90a^3b^4 + 27a^4b^3}$.

Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $6a^3b^2$:
$18a^4b^2 - 30a^3b^3 = 6a^3b^2(3a - 5b)$.

Разложим знаменатель на множители. Вынесем общий множитель $3a^2b^3$:
$75a^2b^5 - 90a^3b^4 + 27a^4b^3 = 3a^2b^3(25b^2 - 30ab + 9a^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(3a - 5b)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $3a^2b^3(3a - 5b)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{6a^3b^2(3a - 5b)}{3a^2b^3(3a - 5b)^2} = \frac{6}{3} \cdot \frac{a^3}{a^2} \cdot \frac{b^2}{b^3} \cdot \frac{3a - 5b}{(3a - 5b)^2} = 2 \cdot a \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{3a-5b}$.

Результат умножения:
$\frac{2a}{b(3a - 5b)}$.

Ответ: $\frac{2a}{b(3a - 5b)}$

г)

Упростим выражение $\frac{10a^2b^8 + 60a^4b^6 + 90a^6b^4}{45a^5b + 15a^3b^3}$.

Разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель $10a^2b^4$:
$10a^2b^8 + 60a^4b^6 + 90a^6b^4 = 10a^2b^4(b^4 + 6a^2b^2 + 9a^4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(3a^2 + b^2)^2$.
Таким образом, числитель равен $10a^2b^4(3a^2 + b^2)^2$.

Разложим знаменатель на множители. Вынесем общий множитель $15a^3b$:
$45a^5b + 15a^3b^3 = 15a^3b(3a^2 + b^2)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{10a^2b^4(3a^2 + b^2)^2}{15a^3b(3a^2 + b^2)} = \frac{10}{15} \cdot \frac{a^2}{a^3} \cdot \frac{b^4}{b} \cdot \frac{(3a^2 + b^2)^2}{3a^2 + b^2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot b^3 \cdot (3a^2 + b^2)$.

Результат умножения:
$\frac{2b^3(3a^2 + b^2)}{3a}$.

Ответ: $\frac{2b^3(3a^2 + b^2)}{3a}$