Номер 41.38, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.38 а) $ \frac{x^2 - y^2}{3x - 2x^2 + 3y - 2xy} $;

б) $ \frac{x^2 - yz + xz - y^2}{x^2 + yz - xz - y^2} $;

в) $ \frac{a^2 - c^2}{a^2 + ac - ax - cx} $;

г) $ \frac{12z^2 - 9rz + 4nz - 3rn}{20z^2 + 3rn - 15rz - 4nz} $.

а)

Для того чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - y^2}{3x - 2x^2 + 3y - 2xy}$, разложим её числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Следовательно, $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Знаменатель $3x - 2x^2 + 3y - 2xy$ разложим на множители методом группировки. Сгруппируем слагаемые: $(3x + 3y) - (2x^2 + 2xy)$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $3(x + y) - 2x(x + y)$. Теперь вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки: $(x + y)(3 - 2x)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{(x - y)(x + y)}{(x + y)(3 - 2x)}$.

Сократив общий множитель $(x + y)$, получаем конечный результат.

Ответ: $\frac{x - y}{3 - 2x}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{x^2 - yz + xz - y^2}{x^2 + yz - xz - y^2}$ и разложим её числитель и знаменатель на множители.

В числителе $x^2 - yz + xz - y^2$ сгруппируем слагаемые: $(x^2 - y^2) + (xz - yz)$. Разложим первую группу как разность квадратов, а из второй вынесем общий множитель $z$: $(x - y)(x + y) + z(x - y)$. Теперь вынесем общий множитель $(x - y)$: $(x - y)(x + y + z)$.

В знаменателе $x^2 + yz - xz - y^2$ также сгруппируем слагаемые: $(x^2 - y^2) - (xz - yz)$. Проделаем аналогичные преобразования: $(x - y)(x + y) - z(x - y)$. Вынесем общий множитель $(x - y)$: $(x - y)(x + y - z)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(x - y)(x + y + z)}{(x - y)(x + y - z)}$.

Сократим общий множитель $(x - y)$.

Ответ: $\frac{x + y + z}{x + y - z}$

в)

Для сокращения дроби $\frac{a^2 - c^2}{a^2 + ac - ax - cx}$ разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $a^2 - c^2$ — это разность квадратов: $(a - c)(a + c)$.

Знаменатель $a^2 + ac - ax - cx$ разложим методом группировки: $(a^2 + ac) - (ax + cx)$. Вынесем общие множители: $a(a + c) - x(a + c)$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a + c)$: $(a + c)(a - x)$.

Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{(a - c)(a + c)}{(a + c)(a - x)}$.

Сократим общий множитель $(a + c)$.

Ответ: $\frac{a - c}{a - x}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{12z^2 - 9rz + 4nz - 3rn}{20z^2 + 3rn - 15rz - 4nz}$ и разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе $12z^2 - 9rz + 4nz - 3rn$ сгруппируем слагаемые: $(12z^2 - 9rz) + (4nz - 3rn)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $3z(4z - 3r) + n(4z - 3r)$. Вынесем общий множитель $(4z - 3r)$: $(4z - 3r)(3z + n)$.

В знаменателе $20z^2 + 3rn - 15rz - 4nz$ сначала переставим слагаемые для удобства группировки: $20z^2 - 15rz - 4nz + 3rn$. Теперь сгруппируем: $(20z^2 - 15rz) - (4nz - 3rn)$. Вынесем общие множители: $5z(4z - 3r) - n(4z - 3r)$. Вынесем общий множитель $(4z - 3r)$: $(4z - 3r)(5z - n)$.

Дробь после разложения на множители имеет вид: $\frac{(4z - 3r)(3z + n)}{(4z - 3r)(5z - n)}$.

Сократим общий множитель $(4z - 3r)$.

Ответ: $\frac{3z + n}{5z - n}$