Номер 41.35, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

41.35 a) $ \frac{18x^5 - 72x^3y^2}{12x^3y^2 - 48x^2y^3 + 48xy^4} $;

б) $ \frac{72a^2bc^3 - 96a^4bc^2 + 32a^6bc}{16a^5b^2c^3 - 36ab^2c^5} $;

в) $ \frac{135a^3b^3 + 180a^2b^4 + 60ab^5}{225a^5b - 100a^3b^3} $;

г) $ \frac{150x^5y^2z - 24x^3y^6z}{40xy^5z^2 - 200x^2y^3z^2 + 250x^3yz^2} $.

а)

Дана дробь: $\frac{18x^5 - 72x^3y^2}{12x^3y^2 - 48x^2y^3 + 48xy^4}$

Для упрощения дроби необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель: $18x^5 - 72x^3y^2$.

Вынесем за скобки общий множитель $18x^3$:

$18x^3(x^2 - 4y^2)$

Выражение в скобках $x^2 - 4y^2$ является разностью квадратов $x^2 - (2y)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$18x^3(x - 2y)(x + 2y)$

2. Разложим на множители знаменатель: $12x^3y^2 - 48x^2y^3 + 48xy^4$.

Вынесем за скобки общий множитель $12xy^2$:

$12xy^2(x^2 - 4xy + 4y^2)$

Выражение в скобках $x^2 - 4xy + 4y^2$ является полным квадратом разности. Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$12xy^2(x - 2y)^2$

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общие множители:

$\frac{18x^3(x - 2y)(x + 2y)}{12xy^2(x - 2y)^2} = \frac{3 \cdot 6 \cdot x^2 \cdot x \cdot (x - 2y) \cdot (x + 2y)}{2 \cdot 6 \cdot x \cdot y^2 \cdot (x - 2y)^2}$

Сокращаем $6$, $x$ и $(x - 2y)$. Получаем:

$\frac{3x^2(x + 2y)}{2y^2(x - 2y)}$

Ответ: $\frac{3x^2(x+2y)}{2y^2(x-2y)}$

б)

Дана дробь: $\frac{72a^2bc^3 - 96a^4bc^2 + 32a^6bc}{16a^5b^2c^3 - 36ab^2c^5}$

1. Разложим на множители числитель. Для удобства переставим слагаемые в порядке убывания степени $a$: $32a^6bc - 96a^4bc^2 + 72a^2bc^3$.

Вынесем за скобки общий множитель $8a^2bc$:

$8a^2bc(4a^4 - 12a^2c + 9c^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(2a^2 - 3c)^2$ по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$8a^2bc(2a^2 - 3c)^2$

2. Разложим на множители знаменатель: $16a^5b^2c^3 - 36ab^2c^5$.

Вынесем за скобки общий множитель $4ab^2c^3$:

$4ab^2c^3(4a^4 - 9c^2)$

Выражение в скобках является разностью квадратов $(2a^2)^2 - (3c)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$4ab^2c^3(2a^2 - 3c)(2a^2 + 3c)$

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:

$\frac{8a^2bc(2a^2 - 3c)^2}{4ab^2c^3(2a^2 - 3c)(2a^2 + 3c)} = \frac{2 \cdot 4 \cdot a \cdot a \cdot b \cdot c \cdot (2a^2 - 3c)^2}{4 \cdot a \cdot b \cdot b \cdot c \cdot c^2 \cdot (2a^2 - 3c)(2a^2 + 3c)}$

Сокращаем $4$, $a$, $b$, $c$ и $(2a^2-3c)$. Получаем:

$\frac{2a(2a^2 - 3c)}{bc^2(2a^2 + 3c)}$

Ответ: $\frac{2a(2a^2-3c)}{bc^2(2a^2+3c)}$

в)

Дана дробь: $\frac{135a^3b^3 + 180a^2b^4 + 60ab^5}{225a^5b - 100a^3b^3}$

1. Разложим на множители числитель: $135a^3b^3 + 180a^2b^4 + 60ab^5$.

Вынесем за скобки общий множитель $15ab^3$:

$15ab^3(9a^2 + 12ab + 4b^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(3a + 2b)^2$ по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$15ab^3(3a + 2b)^2$

2. Разложим на множители знаменатель: $225a^5b - 100a^3b^3$.

Вынесем за скобки общий множитель $25a^3b$:

$25a^3b(9a^2 - 4b^2)$

Выражение в скобках является разностью квадратов $(3a)^2 - (2b)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$25a^3b(3a - 2b)(3a + 2b)$

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:

$\frac{15ab^3(3a + 2b)^2}{25a^3b(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{3 \cdot 5 \cdot a \cdot b \cdot b^2 \cdot (3a + 2b)^2}{5 \cdot 5 \cdot a \cdot a^2 \cdot b \cdot (3a - 2b)(3a + 2b)}$

Сокращаем $5$, $a$, $b$ и $(3a+2b)$. Получаем:

$\frac{3b^2(3a + 2b)}{5a^2(3a - 2b)}$

Ответ: $\frac{3b^2(3a+2b)}{5a^2(3a-2b)}$

г)

Дана дробь: $\frac{150x^5y^2z - 24x^3y^6z}{40xy^5z^2 - 200x^2y^3z^2 + 250x^3yz^2}$

1. Разложим на множители числитель: $150x^5y^2z - 24x^3y^6z$.

Вынесем за скобки общий множитель $6x^3y^2z$:

$6x^3y^2z(25x^2 - 4y^4)$

Выражение в скобках является разностью квадратов $(5x)^2 - (2y^2)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$6x^3y^2z(5x - 2y^2)(5x + 2y^2)$

2. Разложим на множители знаменатель. Переставим слагаемые: $250x^3yz^2 - 200x^2y^3z^2 + 40xy^5z^2$.

Вынесем за скобки общий множитель $10xyz^2$:

$10xyz^2(25x^2 - 20xy^2 + 4y^4)$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(5x - 2y^2)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$10xyz^2(5x - 2y^2)^2$

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:

$\frac{6x^3y^2z(5x - 2y^2)(5x + 2y^2)}{10xyz^2(5x - 2y^2)^2} = \frac{2 \cdot 3 \cdot x \cdot x^2 \cdot y \cdot y \cdot z \cdot (5x - 2y^2)(5x + 2y^2)}{2 \cdot 5 \cdot x \cdot y \cdot z \cdot z \cdot (5x - 2y^2)^2}$

Сокращаем $2$, $x$, $y$, $z$ и $(5x - 2y^2)$. Получаем:

$\frac{3x^2y(5x + 2y^2)}{5z(5x - 2y^2)}$

Ответ: $\frac{3x^2y(5x+2y^2)}{5z(5x-2y^2)}$