Номер 41.39, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вычислите:

41.39 a) $\frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^9}$;

б) $\frac{16^7 - 16^6}{8^{10} - 8^9 + 8^8}$;

в) $\frac{8^{11} - 8^{10} - 8^9}{4^{15} - 4^{14} - 4^{13}}$;

г) $\frac{9^{23} + 9^{22} + 9^{21}}{27^{14} - 27^{13}}$.

а)

Чтобы упростить выражение, приведем все степени к одному основанию. В данном случае это 3, так как $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^9} = \frac{(3^3)^5 + (3^3)^4}{(3^2)^8 + (3^2)^7 + (3^2)^9} = \frac{3^{15} + 3^{12}}{3^{16} + 3^{14} + 3^{18}}$

Теперь вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью в числителе и знаменателе.
В числителе выносим $27^4 = 3^{12}$:
$27^5 + 27^4 = 27^4(27^1 + 1) = 27^4(28) = (3^3)^4 \cdot 28 = 3^{12} \cdot 28$

В знаменателе выносим $9^7 = 3^{14}$:
$9^8 + 9^7 + 9^9 = 9^7(9^1 + 1 + 9^2) = 9^7(9 + 1 + 81) = 9^7 \cdot 91 = (3^2)^7 \cdot 91 = 3^{14} \cdot 91$

Получаем дробь:
$\frac{3^{12} \cdot 28}{3^{14} \cdot 91}$

Сокращаем степени тройки: $\frac{3^{12}}{3^{14}} = 3^{12-14} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Сокращаем числа: $\frac{28}{91} = \frac{4 \cdot 7}{13 \cdot 7} = \frac{4}{13}$.

Перемножаем полученные результаты: $\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{13} = \frac{4}{117}$.

Ответ: $\frac{4}{117}$

б)

Приведем все степени к общему основанию 2, так как $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$.

Подставим значения:
$\frac{16^7 - 16^6}{8^{10} - 8^9 + 8^8} = \frac{(2^4)^7 - (2^4)^6}{(2^3)^{10} - (2^3)^9 + (2^3)^8} = \frac{2^{28} - 2^{24}}{2^{30} - 2^{27} + 2^{24}}$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью в числителе ($2^{24}$) и в знаменателе ($2^{24}$).
$\frac{2^{24}(2^4 - 1)}{2^{24}(2^6 - 2^3 + 1)} = \frac{16 - 1}{64 - 8 + 1} = \frac{15}{57}$

Сократим полученную дробь на 3:
$\frac{15}{57} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 19} = \frac{5}{19}$

Ответ: $\frac{5}{19}$

в)

Приведем все степени к общему основанию 2, так как $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

Подставим значения в выражение:
$\frac{8^{11} - 8^{10} - 8^9}{4^{15} - 4^{14} - 4^{13}} = \frac{(2^3)^{11} - (2^3)^{10} - (2^3)^9}{(2^2)^{15} - (2^2)^{14} - (2^2)^{13}} = \frac{2^{33} - 2^{30} - 2^{27}}{2^{30} - 2^{28} - 2^{26}}$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью.
В числителе выносим $2^{27}$: $2^{27}(2^6 - 2^3 - 1) = 2^{27}(64 - 8 - 1) = 2^{27} \cdot 55$.
В знаменателе выносим $2^{26}$: $2^{26}(2^4 - 2^2 - 1) = 2^{26}(16 - 4 - 1) = 2^{26} \cdot 11$.

Получаем дробь:
$\frac{2^{27} \cdot 55}{2^{26} \cdot 11}$

Сокращаем степени двойки: $\frac{2^{27}}{2^{26}} = 2^{27-26} = 2^1 = 2$.
Сокращаем числа: $\frac{55}{11} = 5$.

Перемножаем результаты: $2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: $10$

г)

Приведем все степени к общему основанию 3, так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

Подставим значения в выражение:
$\frac{9^{23} + 9^{22} + 9^{21}}{27^{14} - 27^{13}} = \frac{(3^2)^{23} + (3^2)^{22} + (3^2)^{21}}{(3^3)^{14} - (3^3)^{13}} = \frac{3^{46} + 3^{44} + 3^{42}}{3^{42} - 3^{39}}$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью.
В числителе выносим $3^{42}$: $3^{42}(3^4 + 3^2 + 1) = 3^{42}(81 + 9 + 1) = 3^{42} \cdot 91$.
В знаменателе выносим $3^{39}$: $3^{39}(3^3 - 1) = 3^{39}(27 - 1) = 3^{39} \cdot 26$.

Получаем дробь:
$\frac{3^{42} \cdot 91}{3^{39} \cdot 26}$

Сокращаем степени тройки: $\frac{3^{42}}{3^{39}} = 3^{42-39} = 3^3 = 27$.
Сокращаем числовую дробь на 13: $\frac{91}{26} = \frac{7 \cdot 13}{2 \cdot 13} = \frac{7}{2}$.

Перемножаем полученные результаты: $27 \cdot \frac{7}{2} = \frac{189}{2} = 94.5$.

Ответ: $\frac{189}{2}$