Номер 42.6, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Докажите тождество:

42.6 a) $x - y = -(y - x);$

б) $(m - n)^2 = (n - m)^2;$

в) $2a - 3b = -(3b - 2a);$

г) $(3c - 4d)^2 = (4d - 3c)^2.$

а) Чтобы доказать тождество $x - y = -(y - x)$, преобразуем его правую часть, раскрыв скобки. При раскрытии скобок знак каждого слагаемого внутри меняется на противоположный.

$-(y - x) = -y - (-x) = -y + x$

Теперь, используя переместительное свойство сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), поменяем слагаемые местами:

$-y + x = x - y$

В результате преобразования мы получили выражение, которое в точности равно левой части исходного равенства. Таким образом, $x - y = x - y$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(m - n)^2 = (n - m)^2$, можно преобразовать правую часть. Заметим, что выражения в скобках являются противоположными друг другу. Вынесем множитель $-1$ из скобок в правой части:

$n - m = -1 \cdot (-n + m) = -(m - n)$

Теперь подставим это в правую часть тождества:

$(n - m)^2 = (-(m - n))^2$

Используя свойство степени $(ab)^2 = a^2 b^2$, получаем:

$(-(m - n))^2 = (-1)^2 \cdot (m - n)^2$

Поскольку $(-1)^2 = 1$, то:

$1 \cdot (m - n)^2 = (m - n)^2$

Правая часть тождества равна левой части: $(m - n)^2 = (m - n)^2$. Тождество доказано. Это общее свойство: квадраты противоположных чисел равны.

Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $2a - 3b = -(3b - 2a)$, преобразуем его правую часть, раскрыв скобки. Как и в пункте а), меняем знаки слагаемых в скобках на противоположные.

$-(3b - 2a) = -3b - (-2a) = -3b + 2a$

Далее, поменяем слагаемые местами (переместительное свойство сложения):

$-3b + 2a = 2a - 3b$

Полученное выражение идентично левой части исходного равенства: $2a - 3b = 2a - 3b$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Чтобы доказать тождество $(3c - 4d)^2 = (4d - 3c)^2$, воспользуемся тем же подходом, что и в пункте б). Выражения $3c - 4d$ и $4d - 3c$ являются противоположными.

Преобразуем правую часть, вынеся за скобки множитель $-1$:

$(4d - 3c)^2 = (-( -4d + 3c))^2 = (-(3c - 4d))^2$

Используем свойство степени для произведения:

$(-(3c - 4d))^2 = (-1)^2 \cdot (3c - 4d)^2$

Так как $(-1)^2 = 1$, получаем:

$1 \cdot (3c - 4d)^2 = (3c - 4d)^2$

Мы показали, что правая часть тождества равна левой: $(3c - 4d)^2 = (3c - 4d)^2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.