Номер 42.13, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Докажите тождество:

42.13 a)

$\frac{27 - m^3}{m^2 + 3m + 9} = \frac{9 - m^2}{3 + m}$;

б) $\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{x^3 - 8y^3} = - \frac{2y - x}{x^2 - 4x + 4y^2}$;

в) $\frac{5 - p}{p^2 - 25} = - \frac{p^2 - 5p + 25}{p^3 + 125}$;

г) $\frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 - 3ab + b^2}$.

а) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть. Исходное тождество:

$\frac{27 - m^3}{m^2 + 3m + 9} = 3 - m$

Преобразуем левую часть (ЛЧ). Числитель дроби, $27 - m^3$, представляет собой разность кубов, так как $27 = 3^3$. Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применяя эту формулу для $a = 3$ и $b = m$, получаем:

$27 - m^3 = (3 - m)(3^2 + 3 \cdot m + m^2) = (3 - m)(9 + 3m + m^2)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть тождества:

$\text{ЛЧ} = \frac{(3 - m)(m^2 + 3m + 9)}{m^2 + 3m + 9}$

Мы можем сократить дробь на общий множитель $(m^2 + 3m + 9)$. Этот множитель никогда не равен нулю для действительных $m$, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27$ отрицателен.

$\text{ЛЧ} = 3 - m$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{27 - m^3}{m^2 + 3m + 9} = 3 - m$ доказано.

б) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть. Исходное тождество:

$\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{x^3 - 8y^3} = \frac{1}{x - 2y}$

Преобразуем левую часть (ЛЧ). Знаменатель дроби, $x^3 - 8y^3$, является разностью кубов, так как $8y^3 = (2y)^3$. Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применяя эту формулу для $a = x$ и $b = 2y$, получаем:

$x^3 - 8y^3 = (x - 2y)(x^2 + x \cdot (2y) + (2y)^2) = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть тождества:

$\text{ЛЧ} = \frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + 2xy + 4y^2)$, при условии, что он не равен нулю (что верно для всех $x, y$, кроме одновременного равенства нулю).

$\text{ЛЧ} = \frac{1}{x - 2y}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{x^3 - 8y^3} = \frac{1}{x - 2y}$ доказано.

в) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть. Исходное тождество:

$\frac{5 - p}{p^2 - 25} = -\frac{1}{p + 5}$

Преобразуем левую часть (ЛЧ). В числителе вынесем знак минус за скобки: $5 - p = -(p - 5)$. Знаменатель $p^2 - 25$ является разностью квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применяя эту формулу для $a = p$ и $b = 5$, получаем:

$p^2 - 25 = (p - 5)(p + 5)$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

$\text{ЛЧ} = \frac{-(p - 5)}{(p - 5)(p + 5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(p - 5)$, при условии что $p \neq 5$.

$\text{ЛЧ} = \frac{-1}{p + 5} = -\frac{1}{p + 5}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{5 - p}{p^2 - 25} = -\frac{1}{p + 5}$ доказано.

г) Чтобы доказать это тождество, мы преобразуем обе его части и покажем, что они равны одному и тому же выражению. Исходное тождество:

$\frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 - 3ab + b^2}$

Сначала преобразуем левую часть (ЛЧ). Числитель $9a^2 + 6ab + b^2$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = 3a$ и $y = b$, поэтому:

$9a^2 + 6ab + b^2 = (3a)^2 + 2(3a)(b) + b^2 = (3a + b)^2$

Подставим в ЛЧ и сократим (при условии $3a + b \neq 0$):

$\text{ЛЧ} = \frac{(3a + b)^2}{3a + b} = 3a + b$

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ). Числитель $27a^3 + b^3$ является суммой кубов $(3a)^3 + b^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

В нашем случае $x = 3a$ и $y = b$, поэтому:

$27a^3 + b^3 = (3a + b)((3a)^2 - (3a)b + b^2) = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)$

Подставим в ПЧ и сократим (знаменатель $9a^2 - 3ab + b^2$ не равен нулю, кроме случая $a=0, b=0$):

$\text{ПЧ} = \frac{(3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)}{9a^2 - 3ab + b^2} = 3a + b$

Поскольку $\text{ЛЧ} = 3a + b$ и $\text{ПЧ} = 3a + b$, левая и правая части тождества равны. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 - 3ab + b^2}$ доказано.