Номер 42.20, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Укажите допустимые значения переменной и решите уравнение:

42.20 а) $\frac{x^2 + 3x}{x} = 0;$

б) $\frac{x^2 - 100}{x + 10} = 0;$

в) $\frac{x^2 - 2x}{x - 2} = 0;$

г) $\frac{4x^2 - 25}{2x - 5} = 0.$

а) $\frac{x^2 + 3x}{x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем допустимые значения переменной. Знаменатель не может быть равен нулю:

$x \neq 0$.

Это область допустимых значений (ОДЗ).

2. Приравняем числитель к нулю и решим полученное уравнение:

$x^2 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ или $x_2 = -3$.

3. Проверим, принадлежат ли корни области допустимых значений.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq 0$), поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условию ОДЗ ($-3 \neq 0$).

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $x = -3$.

б) $\frac{x^2 - 100}{x + 10} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Найдем допустимые значения переменной (ОДЗ):

$x + 10 \neq 0$

$x \neq -10$.

2. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$x^2 - 100 = 0$

Используем формулу разности квадратов: $(x - 10)(x + 10) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 10$ или $x_2 = -10$.

3. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $x \neq -10$.

Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Таким образом, решением является только один корень.

Ответ: $x = 10$.

в) $\frac{x^2 - 2x}{x - 2} = 0$

Равенство верно, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$.

2. Найдем корни, приравняв числитель к нулю:

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ или $x_2 = 2$.

3. Соотнесем корни с ОДЗ.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq 2$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию ОДЗ и является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет одно решение.

Ответ: $x = 0$.

г) $\frac{4x^2 - 25}{2x - 5} = 0$

Дробное выражение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$2x - 5 \neq 0$

$2x \neq 5$

$x \neq \frac{5}{2}$

2. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$4x^2 - 25 = 0$

Применим формулу разности квадратов: $(2x)^2 - 5^2 = 0$.

$(2x - 5)(2x + 5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_1 = \frac{5}{2}$

$2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x_2 = -\frac{5}{2}$

3. Проверим найденные корни.

Корень $x_1 = \frac{5}{2}$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq \frac{5}{2}$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -\frac{5}{2}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-\frac{5}{2} \neq \frac{5}{2}$.

Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: $x = -\frac{5}{2}$.