Номер 42.17, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Докажите тождество:

42.17 a) $(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a) = 0;$

б) $(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = (3xy + 1)^2 - (3xy - 1)^2;$

в) $(x - 3y)(x + 3y) + (3y - c)(3y + c) + (c - x)(c + x) = 0;$

г) $(a - b)(a + b)((a - b)^2 + (a + b)^2) = 2(a^4 - b^4).$

а) $(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a) = 0$

Для доказательства этого тождества мы преобразуем его левую часть, используя формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Применим эту формулу к каждому произведению в выражении:

1. Первое слагаемое: $(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
2. Второе слагаемое: $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$.
3. Третье слагаемое: $(c - 2a)(c + 2a) = c^2 - (2a)^2 = c^2 - 4a^2$.

Теперь сложим полученные выражения:
$(4a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - 4a^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
$4a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - 4a^2 = (4a^2 - 4a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2) = 0 + 0 + 0 = 0$.

В результате преобразования левой части мы получили 0, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) $(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = (3xy + 1)^2 - (3xy - 1)^2$

Для доказательства этого тождества мы преобразуем левую и правую части отдельно, используя формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Преобразуем левую часть (ЛЧ):
ЛЧ = $(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = ((3x + y) - (3x - y))((3x + y) + (3x - y))$.
Упростим выражения в скобках:
$(3x + y - 3x + y)(3x + y + 3x - y) = (2y)(6x) = 12xy$.

Преобразуем правую часть (ПЧ):
ПЧ = $(3xy + 1)^2 - (3xy - 1)^2 = ((3xy + 1) - (3xy - 1))((3xy + 1) + (3xy - 1))$.
Упростим выражения в скобках:
$(3xy + 1 - 3xy + 1)(3xy + 1 + 3xy - 1) = (2)(6xy) = 12xy$.

Поскольку левая и правая части равны одному и тому же выражению ($12xy = 12xy$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) $(x - 3y)(x + 3y) + (3y - c)(3y + c) + (c - x)(c + x) = 0$

Как и в пункте а), используем формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для преобразования левой части тождества.

1. $(x - 3y)(x + 3y) = x^2 - (3y)^2 = x^2 - 9y^2$.
2. $(3y - c)(3y + c) = (3y)^2 - c^2 = 9y^2 - c^2$.
3. $(c - x)(c + x) = c^2 - x^2$.

Сложим полученные результаты:
$(x^2 - 9y^2) + (9y^2 - c^2) + (c^2 - x^2)$.

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
$x^2 - 9y^2 + 9y^2 - c^2 + c^2 - x^2 = (x^2 - x^2) + (-9y^2 + 9y^2) + (-c^2 + c^2) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Левая часть равна 0, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) $(a - b)(a + b)((a - b)^2 + (a + b)^2) = 2(a^4 - b^4)$

Преобразуем левую часть (ЛЧ) тождества по шагам.

Шаг 1: Упростим произведение первых двух скобок по формуле разности квадратов:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Шаг 2: Упростим выражение в третьей скобке, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ и $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
$(a - b)^2 + (a + b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Шаг 3: Перемножим результаты шагов 1 и 2.
ЛЧ = $(a^2 - b^2) \cdot 2(a^2 + b^2) = 2(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.

Шаг 4: Снова применим формулу разности квадратов к выражению $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$:
$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$.

Таким образом, левая часть равна:
ЛЧ = $2(a^4 - b^4)$.

Мы получили выражение, идентичное правой части тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.