Номер 42.22, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

42.22 Постройте график уравнения:

а) $ \frac{x^2 - y^2}{x+y} = 0; $

б) $ \frac{2x^2 + xy}{x} = 0. $

а) Чтобы построить график уравнения $\frac{x^2 - y^2}{x + y} = 0$, необходимо найти все точки $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это приводит к системе условий: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ x + y \neq 0. \end{cases} $$ 1. Решим первое уравнение: $x^2 - y^2 = 0$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $(x - y)(x + y) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x - y = 0$ или $x + y = 0$. Это дает нам два уравнения прямых: $y = x$ и $y = -x$. Графиком уравнения $x^2 - y^2 = 0$ является пара пересекающихся прямых.
2. Учтем второе условие (область допустимых значений, ОДЗ): $x + y \neq 0$, что равносильно $y \neq -x$. Это условие означает, что точки, лежащие на прямой $y = -x$, не могут быть решениями исходного уравнения. Таким образом, из совокупности решений ($y = x$ и $y = -x$) мы должны исключить все точки прямой $y = -x$. В результате остается только прямая $y = x$.
3. Проверим, все ли точки прямой $y=x$ удовлетворяют ОДЗ $y \neq -x$. Найдем точку пересечения прямых $y=x$ и $y=-x$: $x = -x \implies 2x = 0 \implies x = 0$. При $x=0$, $y=0$. Точка пересечения — $(0,0)$. В этой точке знаменатель исходной дроби $x+y$ обращается в ноль ($0+0=0$), что недопустимо. Следовательно, точку $(0,0)$ необходимо исключить из графика.
Итоговый график — это прямая $y=x$ с "выколотой" точкой в начале координат.

Ответ: Графиком уравнения является прямая $y=x$ с выколотой точкой $(0,0)$.

б) Чтобы построить график уравнения $\frac{2x^2 + xy}{x} = 0$, так же, как и в предыдущем пункте, составим систему условий: $$ \begin{cases} 2x^2 + xy = 0, \\ x \neq 0. \end{cases} $$ 1. Решим первое уравнение: $2x^2 + xy = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(2x + y) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x = 0$ или $2x + y = 0$. Это дает нам уравнение прямой $x=0$ (ось OY) и уравнение прямой $y = -2x$.
2. Учтем второе условие (ОДЗ): $x \neq 0$. Это условие означает, что точки, у которых абсцисса равна нулю, не могут быть решениями. Таким образом, вся прямая $x=0$ (ось OY) должна быть исключена из множества решений. Остается только прямая $y = -2x$.
3. Проверим, все ли точки прямой $y = -2x$ удовлетворяют ОДЗ $x \neq 0$. Найдем на прямой $y=-2x$ точку, для которой $x=0$: Если $x=0$, то $y = -2 \cdot 0 = 0$. Это точка $(0,0)$. Поскольку ОДЗ требует, чтобы $x \neq 0$, мы должны исключить эту точку из графика.
Итоговый график — это прямая $y=-2x$ с "выколотой" точкой в начале координат.

Ответ: Графиком уравнения является прямая $y=-2x$ с выколотой точкой $(0,0)$.