Номер 43.6, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

43.6 При каком наименьшем $n$ среднее ряда из $n$ двоек и одной пятёрки будет:

а) меньше $3$;

б) меньше $2.5$;

в) меньше $2.1$;

г) равняться $2.01$?

Для начала, запишем формулу для среднего значения (среднего арифметического) ряда. Ряд состоит из $n$ двоек и одной пятёрки. Сумма всех чисел в ряду: $S = 2 \cdot n + 5$. Общее количество чисел в ряду: $k = n + 1$. Следовательно, среднее значение ряда $M$ вычисляется по формуле: $M = \frac{S}{k} = \frac{2n + 5}{n + 1}$. Во всех пунктах $n$ должно быть целым неотрицательным числом, так как это количество двоек.

а) Найдём наименьшее $n$, при котором среднее значение будет меньше 3. Составим и решим неравенство: $\frac{2n + 5}{n + 1} < 3$ Поскольку $n \ge 0$, то $n + 1$ всегда положительно. Умножим обе части неравенства на $(n + 1)$: $2n + 5 < 3(n + 1)$ $2n + 5 < 3n + 3$ $5 - 3 < 3n - 2n$ $2 < n$ Наименьшее целое число $n$, которое больше 2, это 3. Ответ: 3.

б) Найдём наименьшее $n$, при котором среднее значение будет меньше 2,5. Составим и решим неравенство: $\frac{2n + 5}{n + 1} < 2,5$ $2n + 5 < 2,5(n + 1)$ $2n + 5 < 2,5n + 2,5$ $5 - 2,5 < 2,5n - 2n$ $2,5 < 0,5n$ $5 < n$ Наименьшее целое число $n$, которое больше 5, это 6. Ответ: 6.

в) Найдём наименьшее $n$, при котором среднее значение будет меньше 2,1. Составим и решим неравенство: $\frac{2n + 5}{n + 1} < 2,1$ $2n + 5 < 2,1(n + 1)$ $2n + 5 < 2,1n + 2,1$ $5 - 2,1 < 2,1n - 2n$ $2,9 < 0,1n$ $29 < n$ Наименьшее целое число $n$, которое больше 29, это 30. Ответ: 30.

г) Найдём $n$, при котором среднее значение будет равняться 2,01. Составим и решим уравнение: $\frac{2n + 5}{n + 1} = 2,01$ $2n + 5 = 2,01(n + 1)$ $2n + 5 = 2,01n + 2,01$ $5 - 2,01 = 2,01n - 2n$ $2,99 = 0,01n$ $n = \frac{2,99}{0,01}$ $n = 299$ Так как мы получили целое число, оно и является решением. Ответ: 299.