Номер 43.7, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

43.7 Портной семь раз отмеряет, отбрасывает наименьший и наибольший результаты и вычисляет дисперсию оставшихся результатов. По правилам, отрезать можно, если дисперсия окажется меньше 0,09. Для следующих семи результатов измерения найдите дисперсию и определите, можно отрезать или нет:

a) 14,8; 15,2; 15,0; 14,5; 15,1; 15,4; 14,9;

б) 20,5; 19,6; 20,2; 19,4; 20,4; 20,3; 19,5.

Для решения задачи необходимо для каждого набора измерений выполнить следующие действия: упорядочить все семь результатов по возрастанию, отбросить наименьший и наибольший, а для оставшихся пяти вычислить дисперсию. Если полученная дисперсия меньше 0,09, то отрезать можно.

Дисперсия $D$ для набора данных $x_1, x_2, \dots, x_n$ вычисляется по формуле:

$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$, где $\bar{x}$ — среднее арифметическое значение, а $n$ — количество элементов в наборе.

а) Даны результаты измерений: 14,8; 15,2; 15,0; 14,5; 15,1; 15,4; 14,9.

1. Упорядочим исходный ряд данных по возрастанию: 14,5; 14,8; 14,9; 15,0; 15,1; 15,2; 15,4.

2. Отбросим наименьшее значение (14,5) и наибольшее (15,4). Остаются следующие пять результатов: 14,8; 14,9; 15,0; 15,1; 15,2. Количество элементов для расчета $n=5$.

3. Найдем среднее арифметическое $\bar{x}$ оставшихся результатов:

$\bar{x} = \frac{14,8 + 14,9 + 15,0 + 15,1 + 15,2}{5} = \frac{75,0}{5} = 15,0$.

4. Вычислим дисперсию $D$:

$D = \frac{(14,8 - 15,0)^2 + (14,9 - 15,0)^2 + (15,0 - 15,0)^2 + (15,1 - 15,0)^2 + (15,2 - 15,0)^2}{5}$

$D = \frac{(-0,2)^2 + (-0,1)^2 + (0)^2 + (0,1)^2 + (0,2)^2}{5}$

$D = \frac{0,04 + 0,01 + 0 + 0,01 + 0,04}{5} = \frac{0,10}{5} = 0,02$.

5. Сравним полученную дисперсию с пороговым значением: $0,02 < 0,09$.

Так как дисперсия меньше 0,09, отрезать можно.

Ответ: дисперсия равна 0,02; отрезать можно.

б) Даны результаты измерений: 20,5; 19,6; 20,2; 19,4; 20,4; 20,3; 19,5.

1. Упорядочим исходный ряд данных по возрастанию: 19,4; 19,5; 19,6; 20,2; 20,3; 20,4; 20,5.

2. Отбросим наименьшее значение (19,4) и наибольшее (20,5). Остаются следующие пять результатов: 19,5; 19,6; 20,2; 20,3; 20,4. Количество элементов для расчета $n=5$.

3. Найдем среднее арифметическое $\bar{x}$ оставшихся результатов:

$\bar{x} = \frac{19,5 + 19,6 + 20,2 + 20,3 + 20,4}{5} = \frac{100,0}{5} = 20,0$.

4. Вычислим дисперсию $D$:

$D = \frac{(19,5 - 20,0)^2 + (19,6 - 20,0)^2 + (20,2 - 20,0)^2 + (20,3 - 20,0)^2 + (20,4 - 20,0)^2}{5}$

$D = \frac{(-0,5)^2 + (-0,4)^2 + (0,2)^2 + (0,3)^2 + (0,4)^2}{5}$

$D = \frac{0,25 + 0,16 + 0,04 + 0,09 + 0,16}{5} = \frac{0,70}{5} = 0,14$.

5. Сравним полученную дисперсию с пороговым значением: $0,14 > 0,09$.

Так как дисперсия больше 0,09, отрезать нельзя.

Ответ: дисперсия равна 0,14; отрезать нельзя.