Номер 43.5, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

43.5 Ученик хочет, чтобы его средняя отметка стала больше 4. Какое наименьшее количество пятёрок подряд он должен в дальнейшем для этого получить, если сейчас его отметки таковы:

а) 4, 4, 4, 4, 3;

б) 4, 4, 4, 3, 3;

в) 4, 4, 4, 4, 2;

г) 4, 4, 3, 3, 2, 2?

Для решения задачи в каждом пункте необходимо составить и решить неравенство. Пусть $S_0$ — начальная сумма отметок, $N_0$ — начальное количество отметок, а $x$ — количество пятёрок, которые нужно получить. Новая сумма отметок будет $S = S_0 + 5x$. Новое количество отметок будет $N = N_0 + x$. Средняя отметка вычисляется как $\frac{S}{N}$. По условию, она должна быть больше 4. Получаем неравенство: $\frac{S_0 + 5x}{N_0 + x} > 4$. Решив это неравенство для каждого случая, мы найдем наименьшее целое значение $x$.

а)

Начальные отметки: 4, 4, 4, 4, 3.

Начальное количество отметок: $N_0 = 5$.

Начальная сумма отметок: $S_0 = 4 + 4 + 4 + 4 + 3 = 19$.

Пусть $x$ — необходимое количество пятёрок. Составим неравенство: $\frac{19 + 5x}{5 + x} > 4$

Умножим обе части на $5 + x$ (это выражение всегда положительно): $19 + 5x > 4(5 + x)$

$19 + 5x > 20 + 4x$

$5x - 4x > 20 - 19$

$x > 1$

Поскольку $x$ должно быть целым числом, наименьшее целое число, большее 1, это 2.

Ответ: 2.

б)

Начальные отметки: 4, 4, 4, 3, 3.

Начальное количество отметок: $N_0 = 5$.

Начальная сумма отметок: $S_0 = 4 + 4 + 4 + 3 + 3 = 18$.

Пусть $x$ — необходимое количество пятёрок. Составим неравенство: $\frac{18 + 5x}{5 + x} > 4$

Умножим обе части на $5 + x$: $18 + 5x > 4(5 + x)$

$18 + 5x > 20 + 4x$

$5x - 4x > 20 - 18$

$x > 2$

Наименьшее целое число, большее 2, это 3.

Ответ: 3.

в)

Начальные отметки: 4, 4, 4, 4, 2.

Начальное количество отметок: $N_0 = 5$.

Начальная сумма отметок: $S_0 = 4 + 4 + 4 + 4 + 2 = 18$.

Пусть $x$ — необходимое количество пятёрок. Составим неравенство: $\frac{18 + 5x}{5 + x} > 4$

Умножим обе части на $5 + x$: $18 + 5x > 4(5 + x)$

$18 + 5x > 20 + 4x$

$5x - 4x > 20 - 18$

$x > 2$

Наименьшее целое число, большее 2, это 3.

Ответ: 3.

г)

Начальные отметки: 4, 4, 3, 3, 2, 2.

Начальное количество отметок: $N_0 = 6$.

Начальная сумма отметок: $S_0 = 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 18$.

Пусть $x$ — необходимое количество пятёрок. Составим неравенство: $\frac{18 + 5x}{6 + x} > 4$

Умножим обе части на $6 + x$: $18 + 5x > 4(6 + x)$

$18 + 5x > 24 + 4x$

$5x - 4x > 24 - 18$

$x > 6$

Наименьшее целое число, большее 6, это 7.

Ответ: 7.