Номер 43.8, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

43.8 а) Используя теорему 1 в § 43 учебника, докажите, что при увеличении каждого числа ряда на постоянное число $a$ дисперсия ряда не изменяется.

б) Используя теорему 2 в § 43 учебника, докажите, что при умножении каждого числа ряда на постоянное число $b$ дисперсия ряда умножается на $b^2$.

а) Пусть исходный ряд чисел состоит из n элементов: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Среднее арифметическое этого ряда $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$, а дисперсия $D_x = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Создадим новый ряд чисел, увеличив каждый элемент исходного ряда на постоянное число a. Новый ряд будет: $y_1, y_2, \dots, y_n$, где $y_i = x_i + a$.

Согласно теореме 1 из § 43, при увеличении каждого числа ряда на a, среднее арифметическое ряда также увеличивается на a. Покажем это. Найдем среднее арифметическое нового ряда $\bar{y}$:

$\bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i+a)}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}a}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i + n \cdot a}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} + a = \bar{x} + a$.

Таким образом, среднее нового ряда действительно равно $\bar{x} + a$.

Теперь, используя этот результат, найдем дисперсию нового ряда $D_y$:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}{n}$.

Подставим в эту формулу значения $y_i = x_i + a$ и $\bar{y} = \bar{x} + a$:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}((x_i+a) - (\bar{x}+a))^2}{n}$.

Упростим выражение под знаком суммы:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i+a - \bar{x}-a)^2}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Полученное выражение в точности совпадает с формулой для дисперсии исходного ряда $D_x$.

Следовательно, $D_y = D_x$, что и требовалось доказать. При увеличении каждого числа ряда на постоянное число a дисперсия ряда не изменяется.

Ответ: Доказано, что при увеличении каждого числа ряда на постоянное число a дисперсия ряда не изменяется.

б) Пусть исходный ряд чисел состоит из n элементов: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Его среднее арифметическое $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$, а дисперсия $D_x = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Создадим новый ряд, умножив каждый элемент исходного ряда на постоянное число b. Новый ряд: $z_1, z_2, \dots, z_n$, где $z_i = b \cdot x_i$.

Согласно теореме 2 из § 43, при умножении каждого числа ряда на b, среднее арифметическое ряда также умножается на b. Покажем это. Найдем среднее арифметическое нового ряда $\bar{z}$:

$\bar{z} = \frac{\sum_{i=1}^{n}z_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(b \cdot x_i)}{n} = b \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} = b \cdot \bar{x}$.

Таким образом, среднее нового ряда действительно равно $b \cdot \bar{x}$.

Теперь, используя этот результат, найдем дисперсию нового ряда $D_z$:

$D_z = \frac{\sum_{i=1}^{n}(z_i - \bar{z})^2}{n}$.

Подставим в эту формулу значения $z_i = b \cdot x_i$ и $\bar{z} = b \cdot \bar{x}$:

$D_z = \frac{\sum_{i=1}^{n}(b \cdot x_i - b \cdot \bar{x})^2}{n}$.

Вынесем общий множитель b за скобки внутри суммы:

$D_z = \frac{\sum_{i=1}^{n}(b(x_i - \bar{x}))^2}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}b^2(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Так как $b^2$ является константой, его можно вынести за знак суммы:

$D_z = b^2 \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Выражение $\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$ является дисперсией исходного ряда $D_x$.

Следовательно, $D_z = b^2 \cdot D_x$, что и требовалось доказать. При умножении каждого числа ряда на постоянное число b дисперсия ряда умножается на $b^2$.

Ответ: Доказано, что при умножении каждого числа ряда на постоянное число b дисперсия ряда умножается на $b^2$.