Номер 4, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

4 Разложите многочлен на множители:

а) $0.04x^2 - 9y^2$;

б) $4a^2b^6 + 20ab^3c + 25c^2$;

в) $\frac{1}{9}x^2 - \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2$.

а) Данный многочлен является разностью квадратов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим каждое слагаемое в виде квадрата:

$0,04x^2 = (0,2x)^2$

$9y^2 = (3y)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$0,04x^2 - 9y^2 = (0,2x)^2 - (3y)^2 = (0,2x - 3y)(0,2x + 3y)$.

Ответ: $(0,2x - 3y)(0,2x + 3y)$.

б) Этот многочлен представляет собой полный квадрат суммы. Для его разложения на множители применим формулу: $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.

Представим первый и последний члены многочлена в виде квадратов:

Первый член: $4a^2b^6 = (2ab^3)^2$. Здесь $A = 2ab^3$.

Последний член: $25c^2 = (5c)^2$. Здесь $B = 5c$.

Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению оснований этих квадратов, то есть $2AB$:

$2 \cdot (2ab^3) \cdot (5c) = 20ab^3c$.

Это соответствует среднему члену исходного многочлена. Следовательно, многочлен можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$4a^2b^6 + 20ab^3c + 25c^2 = (2ab^3)^2 + 2 \cdot (2ab^3) \cdot (5c) + (5c)^2 = (2ab^3 + 5c)^2$.

Ответ: $(2ab^3 + 5c)^2$.

в) Данный многочлен является полным квадратом разности. Для разложения на множители воспользуемся формулой: $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.

Представим первый и последний члены многочлена в виде квадратов:

Первый член: $\frac{1}{9}x^2 = (\frac{1}{3}x)^2$. Здесь $A = \frac{1}{3}x$.

Последний член: $\frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{5}y)^2$. Здесь $B = \frac{1}{5}y$.

Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению оснований этих квадратов, то есть $2AB$:

$2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{1}{5}y) = \frac{2}{15}xy$.

Это соответствует среднему члену (без учета знака) исходного многочлена. Значит, многочлен можно свернуть по формуле квадрата разности:

$\frac{1}{9}x^2 - \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{3}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{1}{5}y) + (\frac{1}{5}y)^2 = (\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}y)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}y)^2$.