Номер 9, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9 Докажите тождество:

$a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 - 4abc = (a + b)(b + c)(c + a).$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ), приведя ее к виду правой части (ПЧ).

ЛЧ = $a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 - 4abc$

ПЧ = $(a + b)(b + c)(c + a)$

Шаг 1: Раскроем квадраты сумм в левой части выражения.

ЛЧ = $a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ac + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) - 4abc$

Шаг 2: Раскроем скобки, умножив на множители $a, b$ и $c$.

ЛЧ = $ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + a^2b + a^2c + 2abc + b^2c - 4abc$

Шаг 3: Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем все члены с $abc$.

ЛЧ = $a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + (2abc + 2abc + 2abc) - 4abc$

ЛЧ = $a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 6abc - 4abc$

ЛЧ = $a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

Шаг 4: Теперь сгруппируем слагаемые в полученном многочлене для последующего разложения на множители. Сгруппируем члены по степеням переменной $a$.

ЛЧ = $(a^2b + a^2c) + (ab^2 + ac^2 + 2abc) + (b^2c + bc^2)$

Шаг 5: Вынесем общие множители из каждой группы.

ЛЧ = $a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c)$

Заметим, что выражение во вторых скобках является формулой квадрата суммы: $b^2 + 2bc + c^2 = (b+c)^2$.

ЛЧ = $a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

Шаг 6: Вынесем общий множитель $(b+c)$ за скобки.

ЛЧ = $(b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

Шаг 7: Раскроем скобки внутри квадратных скобок.

ЛЧ = $(b+c)[a^2 + ab + ac + bc]$

Шаг 8: Разложим на множители выражение в квадратных скобках методом группировки.

$a^2 + ab + ac + bc = (a^2 + ab) + (ac + bc) = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$

Шаг 9: Подставим полученное разложение обратно в выражение для ЛЧ.

ЛЧ = $(b+c)(a+b)(a+c)$

Переставив множители для соответствия с правой частью, получаем:

ЛЧ = $(a+b)(b+c)(c+a)$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой части: ЛЧ = ПЧ.

Ответ: Тождество $a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 - 4abc = (a + b)(b + c)(c + a)$ доказано, так как после алгебраических преобразований его левая часть совпадает с правой частью.