Номер 2, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2 Разложите многочлен на множители: $20a^3 - 6b^2 - 24ab + 5a^2b$.

Для разложения многочлена $20a^3 - 6b^2 - 24ab + 5a^2b$ на множители воспользуемся методом группировки. Этот метод заключается в объединении слагаемых в группы, из которых можно вынести общий множитель.

1. Перегруппируем слагаемые многочлена для удобства. Сгруппируем члены, содержащие высокие степени переменной $a$, и члены, содержащие $b$. Например, сгруппируем $20a^3$ с $5a^2b$ и $-24ab$ с $-6b^2$.

$ (20a^3 + 5a^2b) + (-24ab - 6b^2) $

2. Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп.

Из первой группы $(20a^3 + 5a^2b)$ можно вынести общий множитель $5a^2$:

$20a^3 + 5a^2b = 5a^2(4a + b)$

Из второй группы $(-24ab - 6b^2)$ можно вынести общий множитель $-6b$:

$-24ab - 6b^2 = -6b(4a + b)$

3. Подставим полученные выражения обратно в сгруппированный многочлен:

$5a^2(4a + b) - 6b(4a + b)$

4. Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — это выражение в скобках $(4a + b)$. Вынесем его за скобки:

$(4a + b)(5a^2 - 6b)$

Таким образом, мы разложили исходный многочлен на два множителя. Для проверки можно раскрыть скобки и убедиться, что получится исходное выражение:

$(4a + b)(5a^2 - 6b) = 4a \cdot 5a^2 - 4a \cdot 6b + b \cdot 5a^2 - b \cdot 6b = 20a^3 - 24ab + 5a^2b - 6b^2$.

Полученное выражение совпадает с исходным многочленом (с точностью до порядка слагаемых).

Ответ: $(4a + b)(5a^2 - 6b)$.