Номер 9, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9. Докажите тождество:

$(b - c)(b + c)^2 + (c - a)(c + a)^2 + (a - b)(a + b)^2 = -(a - b)(b - c)(c - a).$

Для доказательства данного тождества мы преобразуем его левую (ЛЧ) и правую (ПЧ) части по отдельности и покажем, что они приводятся к одному и тому же выражению.

Преобразование левой части тождества (ЛЧ)

Левая часть имеет вид:

ЛЧ $= (b - c)(b + c)^2 + (c - a)(c + a)^2 + (a - b)(a + b)^2$.

Раскроем каждое слагаемое, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и правило умножения многочленов.

1. Первое слагаемое:

$(b - c)(b + c)^2 = (b - c)(b^2 + 2bc + c^2) = b(b^2 + 2bc + c^2) - c(b^2 + 2bc + c^2)$

$= (b^3 + 2b^2c + bc^2) - (b^2c + 2bc^2 + c^3) = b^3 + b^2c - bc^2 - c^3$.

2. Второе слагаемое (аналогично первому, с заменой переменных $b \to c$, $c \to a$):

$(c - a)(c + a)^2 = c^3 + c^2a - ca^2 - a^3$.

3. Третье слагаемое (аналогично, с заменой $c \to a$, $a \to b$):

$(a - b)(a + b)^2 = a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$.

Теперь сложим полученные выражения:

ЛЧ $= (b^3 + b^2c - bc^2 - c^3) + (c^3 + c^2a - ca^2 - a^3) + (a^3 + a^2b - ab^2 - b^3)$.

Сгруппируем и приведем подобные члены. Кубические члены взаимно уничтожаются:

ЛЧ $= (a^3 - a^3) + (b^3 - b^3) + (c^3 - c^3) + a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$.

В результате получаем:

ЛЧ $= a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$.

Преобразование правой части тождества (ПЧ)

Правая часть имеет вид:

ПЧ $= -(a - b)(b - c)(c - a)$.

Сначала раскроем произведение многочленов $(a - b)(b - c)(c - a)$:

$(a - b)(b - c) = ab - ac - b^2 + bc$.

Теперь умножим результат на $(c - a)$:

$(ab - ac - b^2 + bc)(c - a) = c(ab - ac - b^2 + bc) - a(ab - ac - b^2 + bc)$

$= (abc - ac^2 - b^2c + bc^2) - (a^2b - a^2c - ab^2 + abc)$

$= abc - ac^2 - b^2c + bc^2 - a^2b + a^2c + ab^2 - abc$.

Приведем подобные члены:

$(a - b)(b - c)(c - a) = -a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 + a^2c - ac^2$.

Подставим это выражение в правую часть с учетом знака минус перед скобками:

ПЧ $= -(-a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 + a^2c - ac^2)$.

Раскрыв скобки, получаем:

ПЧ $= a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2$.

Сравнение результатов

Теперь сравним выражения, полученные для левой и правой частей.

ЛЧ $= a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$.

ПЧ $= a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$. (используя $ac^2 = c^2a$ и $-a^2c = -ca^2$ для единообразия записи).

Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению. Следовательно, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Тождество доказано.