Номер 5, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Домашняя контрольная работа № 7. Вариант 2 - номер 5, страница 189.

Условие.

5. Разложите многочлен на множители:

$(x - 2y)^3 + (x + 2y)^3$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем выражении $(x - 2y)^3 + (x + 2y)^3$ положим $a = x - 2y$ и $b = x + 2y$.

Сначала найдем первый множитель, который является суммой оснований $(a + b)$:

$a + b = (x - 2y) + (x + 2y) = x - 2y + x + 2y = 2x$.

Далее найдем второй множитель, который является неполным квадратом разности оснований $(a^2 - ab + b^2)$. Вычислим каждую его часть отдельно:

Квадрат первого основания: $a^2 = (x - 2y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$.

Произведение оснований: $ab = (x - 2y)(x + 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$.

Квадрат второго основания: $b^2 = (x + 2y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$.

Теперь подставим эти выражения в формулу неполного квадрата разности:

$a^2 - ab + b^2 = (x^2 - 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4y^2) + (x^2 + 4xy + 4y^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + 4y^2 + x^2 + 4xy + 4y^2 = (x^2 - x^2 + x^2) + (-4xy + 4xy) + (4y^2 + 4y^2 + 4y^2) = x^2 + 12y^2$.

Таким образом, мы получили два множителя: $2x$ и $(x^2 + 12y^2)$.

Перемножив их, получаем итоговое разложение на множители:

$(x - 2y)^3 + (x + 2y)^3 = 2x(x^2 + 12y^2)$.

Ответ: $2x(x^2 + 12y^2)$.