Номер 8, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

8 Сократите дробь:

а) $\frac{x^2 - y^2}{y^3 - x^3}$;

б) $\frac{2a^4b^3 + 8a^3b^4 + 8a^2b^5}{5a^2b^2 + 10ab^3}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - y^2}{y^3 - x^3}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Числитель $x^2 - y^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу сокращенного умножения $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Знаменатель $y^3 - x^3$ является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + yx + x^2)$

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(x - y)(x + y)}{(y - x)(y^2 + yx + x^2)}$

В знаменателе вынесем минус за скобку, чтобы получить выражение $(x - y)$: $y - x = -(x - y)$.
$\frac{(x - y)(x + y)}{-(x - y)(y^2 + yx + x^2)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(x - y)$, при условии что $x \neq y$:
$\frac{\cancel{(x - y)}(x + y)}{-\cancel{(x - y)}(y^2 + yx + x^2)} = -\frac{x + y}{y^2 + yx + x^2}$

Запишем слагаемые в знаменателе в стандартном порядке:
$-\frac{x + y}{x^2 + xy + y^2}$

Ответ: $-\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{2a^4b^3 + 8a^3b^4 + 8a^2b^5}{5a^2b^2 + 10ab^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель $2a^4b^3 + 8a^3b^4 + 8a^2b^5$. Вынесем за скобки общий множитель $2a^2b^3$:
$2a^2b^3(a^2 + 4ab + 4b^2)$

Выражение в скобках $a^2 + 4ab + 4b^2$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$a^2 + 4ab + 4b^2 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a + 2b)^2$

Таким образом, числитель полностью разложен на множители: $2a^2b^3(a + 2b)^2$.

Теперь преобразуем знаменатель $5a^2b^2 + 10ab^3$. Вынесем за скобки общий множитель $5ab^2$:
$5ab^2(a + 2b)$

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:
$\frac{2a^2b^3(a + 2b)^2}{5ab^2(a + 2b)}$

Сократим общие множители $a$, $b^2$ и $(a + 2b)$, при условии что $a \neq 0$, $b \neq 0$, $a+2b \neq 0$:
$\frac{2 \cdot a \cdot b \cdot (a + 2b)}{5} = \frac{2ab(a + 2b)}{5}$

Ответ: $\frac{2ab(a+2b)}{5}$