Страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №7

Вариант 1

1 Разложите многочлен на множители:

$16ax^2 - 4a^2x$

1. Чтобы разложить многочлен $16ax^2 - 4a^2x$ на множители, необходимо найти общий множитель для каждого члена многочлена и вынести его за скобки.

Сначала рассмотрим числовые коэффициенты 16 и 4. Наибольший общий делитель (НОД) для 16 и 4 равен 4.

Теперь рассмотрим переменные. Переменная a входит в первый член как $a^1$ и во второй как $a^2$. Мы можем вынести a в наименьшей степени, то есть $a^1$ или просто a.

Переменная x входит в первый член как $x^2$ и во второй как $x^1$. Мы можем вынести x в наименьшей степени, то есть $x^1$ или просто x.

Таким образом, общий множитель для обоих членов многочлена равен $4ax$.

Теперь вынесем $4ax$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного многочлена на $4ax$:
Первый член: $\frac{16ax^2}{4ax} = 4x$
Второй член: $\frac{-4a^2x}{4ax} = -a$

Запишем результат в виде произведения общего множителя на выражение в скобках:
$16ax^2 - 4a^2x = 4ax(4x - a)$

Ответ: $4ax(4x - a)$

2. Разложите многочлен на множители:

$9x^2 - 10a^3 + 6ax - 15a^2x.$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Исходный многочлен: $9x^2 - 10a^3 + 6ax - 15a^2x$.

Перегруппируем слагаемые для того, чтобы в каждой группе появился общий множитель. Сгруппируем первый член с третьим, а второй — с четвертым:

$(9x^2 + 6ax) + (-10a^3 - 15a^2x)$

Теперь из каждой группы вынесем за скобки наибольший общий делитель.

Для первой группы $(9x^2 + 6ax)$ общим множителем является $3x$:
$3x(3x + 2a)$

Для второй группы $(-10a^3 - 15a^2x)$ общим множителем является $-5a^2$ (выносим знак "минус", чтобы получить в скобках выражение, аналогичное первой группе):
$-5a^2(2a + 3x)$

После вынесения общих множителей из каждой группы исходное выражение принимает вид:
$3x(3x + 2a) - 5a^2(2a + 3x)$

Выражения в скобках $(3x + 2a)$ и $(2a + 3x)$ равны в силу переместительного закона сложения. Теперь мы можем вынести этот общий биномиальный множитель $(3x + 2a)$ за скобки:

$(3x + 2a)(3x - 5a^2)$

Таким образом, разложение многочлена на множители завершено.
Ответ: $(3x + 2a)(3x - 5a^2)$.

3 Найдите значение выражения $6a^2 + 3ab^2 - 4ab - 2b^3$, если $a = 1\frac{1}{8}$, $b = -1\frac{1}{2}$.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Это сделает последующие вычисления с дробями значительно легче. Исходное выражение: $6a^2 + 3ab^2 - 4ab - 2b^3$.

Сгруппируем слагаемые: $(6a^2 - 4ab) + (3ab^2 - 2b^3)$.

В каждой группе вынесем общий множитель за скобки:

$2a(3a - 2b) + b^2(3a - 2b)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(3a - 2b)$:

$(2a + b^2)(3a - 2b)$

Далее, преобразуем заданные смешанные числа в неправильные дроби:

$a = 1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$

$b = -1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$

Теперь подставим эти значения в упрощенное выражение. Вычислим по частям значение каждого из двух множителей в скобках.

Первый множитель: $2a + b^2 = 2 \cdot \frac{9}{8} + (-\frac{3}{2})^2 = \frac{18}{8} + \frac{9}{4} = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$.

Второй множитель: $3a - 2b = 3 \cdot \frac{9}{8} - 2 \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{27}{8} + 3 = \frac{27}{8} + \frac{24}{8} = \frac{51}{8}$.

Осталось перемножить результаты:

$\frac{9}{2} \cdot \frac{51}{8} = \frac{9 \cdot 51}{2 \cdot 8} = \frac{459}{16}$.

Чтобы получить окончательный ответ в виде смешанного числа, выделим целую часть из дроби $\frac{459}{16}$:

$459 \div 16 = 28$ с остатком $11$. Следовательно, $\frac{459}{16} = 28\frac{11}{16}$.

Ответ: $28\frac{11}{16}$.

4 Разложите многочлен на множители:

а) $0.04x^2 - 9y^2$;

б) $4a^2b^6 + 20ab^3c + 25c^2$;

в) $\frac{1}{9}x^2 - \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2$.

а) Данный многочлен является разностью квадратов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим каждое слагаемое в виде квадрата:

$0,04x^2 = (0,2x)^2$

$9y^2 = (3y)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$0,04x^2 - 9y^2 = (0,2x)^2 - (3y)^2 = (0,2x - 3y)(0,2x + 3y)$.

Ответ: $(0,2x - 3y)(0,2x + 3y)$.

б) Этот многочлен представляет собой полный квадрат суммы. Для его разложения на множители применим формулу: $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.

Представим первый и последний члены многочлена в виде квадратов:

Первый член: $4a^2b^6 = (2ab^3)^2$. Здесь $A = 2ab^3$.

Последний член: $25c^2 = (5c)^2$. Здесь $B = 5c$.

Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению оснований этих квадратов, то есть $2AB$:

$2 \cdot (2ab^3) \cdot (5c) = 20ab^3c$.

Это соответствует среднему члену исходного многочлена. Следовательно, многочлен можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$4a^2b^6 + 20ab^3c + 25c^2 = (2ab^3)^2 + 2 \cdot (2ab^3) \cdot (5c) + (5c)^2 = (2ab^3 + 5c)^2$.

Ответ: $(2ab^3 + 5c)^2$.

в) Данный многочлен является полным квадратом разности. Для разложения на множители воспользуемся формулой: $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.

Представим первый и последний члены многочлена в виде квадратов:

Первый член: $\frac{1}{9}x^2 = (\frac{1}{3}x)^2$. Здесь $A = \frac{1}{3}x$.

Последний член: $\frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{5}y)^2$. Здесь $B = \frac{1}{5}y$.

Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению оснований этих квадратов, то есть $2AB$:

$2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{1}{5}y) = \frac{2}{15}xy$.

Это соответствует среднему члену (без учета знака) исходного многочлена. Значит, многочлен можно свернуть по формуле квадрата разности:

$\frac{1}{9}x^2 - \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{3}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{1}{5}y) + (\frac{1}{5}y)^2 = (\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}y)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}y)^2$.

5 Разложите многочлен на множители:

$(2a - b)^3 - (2a + b)^3.$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В нашем выражении $(2a - b)^3 - (2a + b)^3$ примем $x = 2a - b$ и $y = 2a + b$.

Сначала найдем первый множитель, который соответствует разности $(x - y)$:

$(2a - b) - (2a + b) = 2a - b - 2a - b = -2b$.

Теперь найдем второй множитель, который соответствует неполному квадрату суммы $(x^2 + xy + y^2)$. Для этого последовательно вычислим каждый его член:

$x^2 = (2a - b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$.

$xy = (2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.

$y^2 = (2a + b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$.

Сложим полученные выражения, чтобы найти второй множитель:

$x^2 + xy + y^2 = (4a^2 - 4ab + b^2) + (4a^2 - b^2) + (4a^2 + 4ab + b^2)$.

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 + 4a^2 + 4a^2) + (-4ab + 4ab) + (b^2 - b^2 + b^2) = 12a^2 + b^2$.

Наконец, перемножим найденные множители:

$(-2b)(12a^2 + b^2)$.

Ответ: $-2b(12a^2 + b^2)$

6 Вычислите наиболее рациональным способом: $112^2 - 62^2$.

Чтобы вычислить значение выражения $112^2 - 62^2$ наиболее рациональным способом, следует применить формулу сокращенного умножения, известную как "разность квадратов".

Формула разности квадратов имеет вид: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к заданному выражению, где $a = 112$ и $b = 62$:
$112^2 - 62^2 = (112 - 62)(112 + 62)$.

Теперь выполним простые арифметические действия в скобках:
$112 - 62 = 50$
$112 + 62 = 174$.

Подставим полученные результаты обратно в выражение и найдем их произведение:
$50 \times 174 = 8700$.

Этот способ позволяет избежать трудоемкого возведения в квадрат больших чисел и последующего вычитания.

Ответ: 8700

7 Докажите, что значение выражения $81^3 + 15^3$ кратно 96.

Чтобы доказать, что значение выражения $81^3 + 15^3$ кратно 96, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 81$ и $b = 15$:

$81^3 + 15^3 = (81 + 15)(81^2 - 81 \cdot 15 + 15^2)$

Вычислим значение первого множителя в скобках:

$81 + 15 = 96$

Теперь исходное выражение можно представить в виде произведения:

$81^3 + 15^3 = 96 \cdot (81^2 - 81 \cdot 15 + 15^2)$

Так как выражение является произведением, где один из множителей равен 96, а второй множитель $(81^2 - 81 \cdot 15 + 15^2)$ является целым числом (поскольку состоит из произведений, разностей и сумм целых чисел), то все выражение делится на 96 без остатка.

Для полноты доказательства можно вычислить значение второго множителя:

$81^2 - 81 \cdot 15 + 15^2 = 6561 - 1215 + 225 = 5346 + 225 = 5571$

Таким образом, $81^3 + 15^3 = 96 \cdot 5571$.

Ответ: Значение выражения $81^3 + 15^3$ можно представить в виде произведения $96 \cdot 5571$. Поскольку один из множителей равен 96, а второй является целым числом, то значение всего выражения кратно 96, что и требовалось доказать.

8 Сократите дробь:

а) $\frac{x^2 - y^2}{y^3 - x^3}$;

б) $\frac{2a^4b^3 + 8a^3b^4 + 8a^2b^5}{5a^2b^2 + 10ab^3}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - y^2}{y^3 - x^3}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Числитель $x^2 - y^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу сокращенного умножения $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Знаменатель $y^3 - x^3$ является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + yx + x^2)$

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(x - y)(x + y)}{(y - x)(y^2 + yx + x^2)}$

В знаменателе вынесем минус за скобку, чтобы получить выражение $(x - y)$: $y - x = -(x - y)$.
$\frac{(x - y)(x + y)}{-(x - y)(y^2 + yx + x^2)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(x - y)$, при условии что $x \neq y$:
$\frac{\cancel{(x - y)}(x + y)}{-\cancel{(x - y)}(y^2 + yx + x^2)} = -\frac{x + y}{y^2 + yx + x^2}$

Запишем слагаемые в знаменателе в стандартном порядке:
$-\frac{x + y}{x^2 + xy + y^2}$

Ответ: $-\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{2a^4b^3 + 8a^3b^4 + 8a^2b^5}{5a^2b^2 + 10ab^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель $2a^4b^3 + 8a^3b^4 + 8a^2b^5$. Вынесем за скобки общий множитель $2a^2b^3$:
$2a^2b^3(a^2 + 4ab + 4b^2)$

Выражение в скобках $a^2 + 4ab + 4b^2$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$a^2 + 4ab + 4b^2 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a + 2b)^2$

Таким образом, числитель полностью разложен на множители: $2a^2b^3(a + 2b)^2$.

Теперь преобразуем знаменатель $5a^2b^2 + 10ab^3$. Вынесем за скобки общий множитель $5ab^2$:
$5ab^2(a + 2b)$

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:
$\frac{2a^2b^3(a + 2b)^2}{5ab^2(a + 2b)}$

Сократим общие множители $a$, $b^2$ и $(a + 2b)$, при условии что $a \neq 0$, $b \neq 0$, $a+2b \neq 0$:
$\frac{2 \cdot a \cdot b \cdot (a + 2b)}{5} = \frac{2ab(a + 2b)}{5}$

Ответ: $\frac{2ab(a+2b)}{5}$

9 Докажите тождество:

$a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 - 4abc = (a + b)(b + c)(c + a).$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ), приведя ее к виду правой части (ПЧ).

ЛЧ = $a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 - 4abc$

ПЧ = $(a + b)(b + c)(c + a)$

Шаг 1: Раскроем квадраты сумм в левой части выражения.

ЛЧ = $a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ac + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) - 4abc$

Шаг 2: Раскроем скобки, умножив на множители $a, b$ и $c$.

ЛЧ = $ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + a^2b + a^2c + 2abc + b^2c - 4abc$

Шаг 3: Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем все члены с $abc$.

ЛЧ = $a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + (2abc + 2abc + 2abc) - 4abc$

ЛЧ = $a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 6abc - 4abc$

ЛЧ = $a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

Шаг 4: Теперь сгруппируем слагаемые в полученном многочлене для последующего разложения на множители. Сгруппируем члены по степеням переменной $a$.

ЛЧ = $(a^2b + a^2c) + (ab^2 + ac^2 + 2abc) + (b^2c + bc^2)$

Шаг 5: Вынесем общие множители из каждой группы.

ЛЧ = $a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c)$

Заметим, что выражение во вторых скобках является формулой квадрата суммы: $b^2 + 2bc + c^2 = (b+c)^2$.

ЛЧ = $a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

Шаг 6: Вынесем общий множитель $(b+c)$ за скобки.

ЛЧ = $(b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

Шаг 7: Раскроем скобки внутри квадратных скобок.

ЛЧ = $(b+c)[a^2 + ab + ac + bc]$

Шаг 8: Разложим на множители выражение в квадратных скобках методом группировки.

$a^2 + ab + ac + bc = (a^2 + ab) + (ac + bc) = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$

Шаг 9: Подставим полученное разложение обратно в выражение для ЛЧ.

ЛЧ = $(b+c)(a+b)(a+c)$

Переставив множители для соответствия с правой частью, получаем:

ЛЧ = $(a+b)(b+c)(c+a)$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой части: ЛЧ = ПЧ.

Ответ: Тождество $a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 - 4abc = (a + b)(b + c)(c + a)$ доказано, так как после алгебраических преобразований его левая часть совпадает с правой частью.

10 При каком значении $n$ среднее ряда из $n$ двоек и одной тройки будет равно 2,05?

Для решения этой задачи нужно составить уравнение, используя формулу среднего арифметического. Среднее арифметическое ряда чисел равно отношению суммы этих чисел к их количеству.

В нашем ряду имеется $n$ чисел, равных 2 (двойки), и одно число, равное 3 (тройка).

1. Найдем сумму всех чисел в ряду.
Сумма $n$ двоек составляет $2 \cdot n$. К этой сумме нужно прибавить одну тройку. Таким образом, сумма всех чисел ряда: $S = 2n + 3$.

2. Найдем общее количество чисел в ряду.
Количество чисел равно сумме количества двоек ($n$) и количества троек (1). Общее количество чисел: $k = n + 1$.

3. Составим и решим уравнение.
Среднее арифметическое, по условию задачи, равно $2,05$. Используя формулу среднего, получаем:

$\text{Среднее} = \frac{S}{k} = \frac{2n + 3}{n + 1}$

Подставляем известное значение среднего:

$2,05 = \frac{2n + 3}{n + 1}$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на знаменатель $(n + 1)$:

$2,05 \cdot (n + 1) = 2n + 3$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2,05n + 2,05 = 2n + 3$

Теперь сгруппируем все слагаемые с переменной $n$ в левой части, а постоянные члены — в правой:

$2,05n - 2n = 3 - 2,05$

$0,05n = 0,95$

Для того чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на $0,05$:

$n = \frac{0,95}{0,05}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель дроби на 100:

$n = \frac{95}{5}$

$n = 19$

Таким образом, для того чтобы среднее ряда было равно $2,05$, в нем должно быть 19 двоек.

Проверка:
Если $n=19$, то ряд состоит из 19 двоек и одной тройки.
Общее количество чисел: $19 + 1 = 20$.
Сумма чисел: $19 \cdot 2 + 3 = 38 + 3 = 41$.
Среднее ряда: $\frac{41}{20} = 2,05$.
Результат совпадает с условием задачи, следовательно, решение верное.

Ответ: 19