Страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Вычислите среднее следующих рядов чисел:

а) 1, 1, 1, 1, 2;

б) 1, 2, 2, 2, 2;

в) 1, 2, 11, 12, 21, 22.

Среднее арифметическое (или просто среднее) ряда чисел — это сумма всех чисел, деленная на их количество.

а) Дан ряд чисел: 1, 1, 1, 1, 2.

1. Найдем сумму всех чисел в ряду:
$1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6$

2. Посчитаем количество чисел в ряду. В данном ряду 5 чисел.

3. Разделим сумму на количество чисел, чтобы найти среднее:
$\text{Среднее} = \frac{6}{5} = 1,2$

Ответ: 1,2.

б) Дан ряд чисел: 1, 2, 2, 2, 2.

1. Найдем сумму всех чисел в ряду:
$1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 9$

2. Количество чисел в ряду — 5.

3. Вычислим среднее значение:
$\text{Среднее} = \frac{9}{5} = 1,8$

Ответ: 1,8.

в) Дан ряд чисел: 1, 2, 11, 12, 21, 22.

1. Найдем сумму всех чисел в ряду:
$1 + 2 + 11 + 12 + 21 + 22 = 69$

2. Количество чисел в этом ряду — 6.

3. Найдем среднее, разделив сумму на количество:
$\text{Среднее} = \frac{69}{6} = 11,5$

Ответ: 11,5.

2. Почему среднее ряда и среднее соответствующего упорядоченного ряда равны между собой?

Среднее арифметическое (или просто среднее) числового ряда — это величина, которая зависит только от двух параметров: суммы всех чисел в этом ряду и их количества.

Формула для вычисления среднего арифметического $(\bar{x})$ для ряда чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ выглядит следующим образом:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Когда мы упорядочиваем ряд, мы всего лишь меняем порядок следования его членов. Например, располагаем их по возрастанию или убыванию. При этом:

• Набор чисел остается абсолютно тем же.
• Количество чисел $(n)$ в ряду не изменяется.

Ключевым свойством, объясняющим равенство средних, является коммутативный (переместительный) закон сложения. Он гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. То есть, сумма чисел в исходном ряду будет точно такой же, как и сумма чисел в упорядоченном ряду.
Например: $5 + 1 + 9 = 1 + 5 + 9 = 15$.

Поскольку и числитель (сумма элементов), и знаменатель (количество элементов) в формуле среднего арифметического остаются неизменными после упорядочивания, то и само значение среднего не изменится.

Рассмотрим на примере:
Пусть дан исходный ряд: {8, 3, 10, 3, 6}.
Сумма элементов: $8 + 3 + 10 + 3 + 6 = 30$.
Количество элементов: $n = 5$.
Среднее значение: $\bar{x} = \frac{30}{5} = 6$.

Теперь упорядочим этот ряд по возрастанию: {3, 3, 6, 8, 10}.
Сумма элементов: $3 + 3 + 6 + 8 + 10 = 30$.
Количество элементов: $n = 5$.
Среднее значение: $\bar{x} = \frac{30}{5} = 6$.
Результаты полностью совпадают.

Ответ: Среднее ряда и среднее соответствующего упорядоченного ряда равны между собой, потому что операция упорядочивания (сортировки) не изменяет ни состав элементов ряда, ни их количество. Вследствие коммутативного закона сложения, сумма элементов остается прежней. Так как и сумма (числитель дроби), и количество элементов (знаменатель) не меняются, то и их частное — среднее арифметическое — также остается неизменным.

3. Какое число следует добавить в набор 9, 1, 4, 5 для того, чтобы среднее стало равняться 5?

Среднее арифметическое (или просто среднее) набора чисел вычисляется путем деления суммы всех чисел на их количество.

В исходном наборе даны числа: 9, 1, 4, 5. В этом наборе 4 элемента.

Найдем сумму этих чисел:

$9 + 1 + 4 + 5 = 19$

Пусть $x$ — это неизвестное число, которое нужно добавить в набор. После его добавления в наборе станет 5 чисел (4 исходных + 1 новое).

Новый набор: {9, 1, 4, 5, $x$}.
Сумма нового набора: $19 + x$.
Количество чисел в новом наборе: 5.

По условию задачи, среднее арифметическое нового набора должно равняться 5. Составим уравнение, используя формулу среднего:

$\frac{\text{Сумма чисел}}{\text{Количество чисел}} = \text{Среднее}$

$\frac{19 + x}{5} = 5$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала умножим обе части уравнения на 5:

$19 + x = 5 \cdot 5$

$19 + x = 25$

Затем вычтем 19 из обеих частей уравнения:

$x = 25 - 19$

$x = 6$

Таким образом, в набор нужно добавить число 6, чтобы среднее стало равняться 5.

Ответ: 6

42.11 Докажите, что выражение $A + B - C$ тождественно равно выражению $C - B - A$, если $A = 2x - 1$, $B = 3x + 1$ и $C = 5x$.

Для того чтобы доказать, что выражение $A + B - C$ тождественно равно выражению $C - B - A$, необходимо упростить оба выражения, подставив в них значения $A = 2x - 1$, $B = 3x + 1$ и $C = 5x$.

1. Упростим первое выражение $A + B - C$.

Подставляем значения A, B и C:

$A + B - C = (2x - 1) + (3x + 1) - 5x$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$2x - 1 + 3x + 1 - 5x = (2x + 3x - 5x) + (-1 + 1) = 0$

2. Упростим второе выражение $C - B - A$.

Подставляем значения A, B и C:

$C - B - A = 5x - (3x + 1) - (2x - 1)$

Раскрываем скобки. Важно помнить, что при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$5x - 3x - 1 - 2x + 1 = (5x - 3x - 2x) + (-1 + 1) = 0$

Так как оба выражения после упрощения равны 0, они тождественно равны друг другу для любого значения переменной $x$.

Ответ: Тождество доказано, поскольку оба выражения, $A + B - C$ и $C - B - A$, равны 0.

42.12 Установите, является ли данное равенство тождеством, и если да, то укажите допустимые значения переменных:

а) $\frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 2x} = x^2 + 2x$

б) $\frac{3x^5 - 24x^2}{6x^5 - 12x^4} = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2}$

в) $\frac{2a^3 - 12a^2 + 18a}{4a^4 - 36a^2} = \frac{a - 3}{2a^2 + 6a}$

г) $\frac{a^6b^2 - 27a^3b^2}{2a^3b^3 - 6a^2b^3} = \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b}$

a) $\frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 2x} = x^2 + 2x$

Чтобы установить, является ли данное равенство тождеством, необходимо упростить его левую часть и сравнить с правой. Сначала определим область допустимых значений (ДПЗ) переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^2 - 2x \neq 0$.

Разложим знаменатель на множители: $x(x - 2) \neq 0$. Отсюда получаем, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Это и есть допустимые значения переменной.

Теперь преобразуем левую часть равенства. Разложим на множители числитель, используя вынесение общего множителя за скобки и формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4) = x^2(x-2)(x+2)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в левую часть:

$\frac{x^2(x-2)(x+2)}{x(x-2)}$

При допустимых значениях $x$ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$) можно сократить дробь на общие множители $x$ и $(x-2)$:

$\frac{x \cdot x(x-2)(x+2)}{x(x-2)} = x(x+2) = x^2 + 2x$.

После преобразования левая часть стала идентичной правой части. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: Равенство является тождеством при допустимых значениях переменной $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

б) $\frac{3x^5 - 24x^2}{6x^5 - 12x^4} = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2}$

Найдем ДПЗ. Знаменатель левой части $6x^5 - 12x^4 \neq 0$. Вынесем общий множитель: $6x^4(x - 2) \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Знаменатель правой части $2x^2 \neq 0$ при том же условии $x \neq 0$. Итак, ДПЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Упростим левую часть. Разложим числитель на множители, вынеся $3x^2$ и применив формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$3x^5 - 24x^2 = 3x^2(x^3 - 8) = 3x^2(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Знаменатель мы уже разложили: $6x^4(x - 2)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общие множители $3$, $x^2$ и $(x-2)$:

$\frac{3x^2(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{6x^4(x - 2)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2}$.

Левая часть после упрощения совпала с правой. Следовательно, это тождество.

Ответ: Равенство является тождеством при $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

в) $\frac{2a^3 - 12a^2 + 18a}{4a^4 - 36a^2} = \frac{a - 3}{2a^2 + 6a}$

Определим ДПЗ. Знаменатели обеих дробей не должны равняться нулю. Для левой части: $4a^4 - 36a^2 \neq 0 \Rightarrow 4a^2(a^2-9) \neq 0 \Rightarrow 4a^2(a-3)(a+3) \neq 0$. Отсюда $a \neq 0$, $a \neq 3$ и $a \neq -3$. Для правой части: $2a^2 + 6a \neq 0 \Rightarrow 2a(a+3) \neq 0$. Отсюда $a \neq 0$ и $a \neq -3$. Объединяя условия, получаем общую ДПЗ: $a \neq 0$, $a \neq 3$ и $a \neq -3$.

Упростим левую часть. Разложим числитель на множители, вынеся $2a$ и используя формулу квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$:

$2a^3 - 12a^2 + 18a = 2a(a^2 - 6a + 9) = 2a(a-3)^2$.

Подставим разложенные выражения в левую часть и сократим:

$\frac{2a(a-3)^2}{4a^2(a-3)(a+3)} = \frac{a-3}{2a(a+3)} = \frac{a-3}{2a^2+6a}$.

Левая часть после упрощения равна правой. Следовательно, это тождество.

Ответ: Равенство является тождеством при $a \neq -3$, $a \neq 0$ и $a \neq 3$.

г) $\frac{a^6b^2 - 27a^3b^2}{2a^3b^3 - 6a^2b^3} = \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b}$

Найдем ДПЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю. Для левой части: $2a^3b^3 - 6a^2b^3 \neq 0 \Rightarrow 2a^2b^3(a-3) \neq 0$. Это означает, что $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $a \neq 3$. Для правой части: $2b \neq 0 \Rightarrow b \neq 0$. Общая ДПЗ: $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $a \neq 3$.

Упростим левую часть. Разложим на множители числитель, вынеся $a^3b^2$ и используя формулу разности кубов:

$a^6b^2 - 27a^3b^2 = a^3b^2(a^3 - 27) = a^3b^2(a-3)(a^2+3a+9)$.

Знаменатель раскладывается как $2a^2b^3(a-3)$.

Подставим и сократим дробь:

$\frac{a^3b^2(a-3)(a^2+3a+9)}{2a^2b^3(a-3)} = \frac{a(a^2+3a+9)}{2b} = \frac{a^3+3a^2+9a}{2b}$.

Левая часть равна правой. Это тождество.

Ответ: Равенство является тождеством при $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $a \neq 3$.

Докажите тождество:

42.13 a)

$\frac{27 - m^3}{m^2 + 3m + 9} = \frac{9 - m^2}{3 + m}$;

б) $\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{x^3 - 8y^3} = - \frac{2y - x}{x^2 - 4x + 4y^2}$;

в) $\frac{5 - p}{p^2 - 25} = - \frac{p^2 - 5p + 25}{p^3 + 125}$;

г) $\frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 - 3ab + b^2}$.

а) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть. Исходное тождество:

$\frac{27 - m^3}{m^2 + 3m + 9} = 3 - m$

Преобразуем левую часть (ЛЧ). Числитель дроби, $27 - m^3$, представляет собой разность кубов, так как $27 = 3^3$. Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применяя эту формулу для $a = 3$ и $b = m$, получаем:

$27 - m^3 = (3 - m)(3^2 + 3 \cdot m + m^2) = (3 - m)(9 + 3m + m^2)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть тождества:

$\text{ЛЧ} = \frac{(3 - m)(m^2 + 3m + 9)}{m^2 + 3m + 9}$

Мы можем сократить дробь на общий множитель $(m^2 + 3m + 9)$. Этот множитель никогда не равен нулю для действительных $m$, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27$ отрицателен.

$\text{ЛЧ} = 3 - m$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{27 - m^3}{m^2 + 3m + 9} = 3 - m$ доказано.

б) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть. Исходное тождество:

$\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{x^3 - 8y^3} = \frac{1}{x - 2y}$

Преобразуем левую часть (ЛЧ). Знаменатель дроби, $x^3 - 8y^3$, является разностью кубов, так как $8y^3 = (2y)^3$. Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применяя эту формулу для $a = x$ и $b = 2y$, получаем:

$x^3 - 8y^3 = (x - 2y)(x^2 + x \cdot (2y) + (2y)^2) = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть тождества:

$\text{ЛЧ} = \frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + 2xy + 4y^2)$, при условии, что он не равен нулю (что верно для всех $x, y$, кроме одновременного равенства нулю).

$\text{ЛЧ} = \frac{1}{x - 2y}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{x^3 - 8y^3} = \frac{1}{x - 2y}$ доказано.

в) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть. Исходное тождество:

$\frac{5 - p}{p^2 - 25} = -\frac{1}{p + 5}$

Преобразуем левую часть (ЛЧ). В числителе вынесем знак минус за скобки: $5 - p = -(p - 5)$. Знаменатель $p^2 - 25$ является разностью квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применяя эту формулу для $a = p$ и $b = 5$, получаем:

$p^2 - 25 = (p - 5)(p + 5)$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

$\text{ЛЧ} = \frac{-(p - 5)}{(p - 5)(p + 5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(p - 5)$, при условии что $p \neq 5$.

$\text{ЛЧ} = \frac{-1}{p + 5} = -\frac{1}{p + 5}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{5 - p}{p^2 - 25} = -\frac{1}{p + 5}$ доказано.

г) Чтобы доказать это тождество, мы преобразуем обе его части и покажем, что они равны одному и тому же выражению. Исходное тождество:

$\frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 - 3ab + b^2}$

Сначала преобразуем левую часть (ЛЧ). Числитель $9a^2 + 6ab + b^2$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = 3a$ и $y = b$, поэтому:

$9a^2 + 6ab + b^2 = (3a)^2 + 2(3a)(b) + b^2 = (3a + b)^2$

Подставим в ЛЧ и сократим (при условии $3a + b \neq 0$):

$\text{ЛЧ} = \frac{(3a + b)^2}{3a + b} = 3a + b$

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ). Числитель $27a^3 + b^3$ является суммой кубов $(3a)^3 + b^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

В нашем случае $x = 3a$ и $y = b$, поэтому:

$27a^3 + b^3 = (3a + b)((3a)^2 - (3a)b + b^2) = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)$

Подставим в ПЧ и сократим (знаменатель $9a^2 - 3ab + b^2$ не равен нулю, кроме случая $a=0, b=0$):

$\text{ПЧ} = \frac{(3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)}{9a^2 - 3ab + b^2} = 3a + b$

Поскольку $\text{ЛЧ} = 3a + b$ и $\text{ПЧ} = 3a + b$, левая и правая части тождества равны. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 - 3ab + b^2}$ доказано.

42.14 a) $(x + y)(x - y) + (y + a)(y - a) = (x - a)(x + a);$

б) $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab;$`

в) $(a - b)(a + b) - (a - c)(a + c) - (c - b)(c + b) = 0;$`

г) $(m - a)(m - b) = m^2 - (a + b)m + ab.$`

а)

Для того чтобы доказать данное тождество, необходимо преобразовать его левую и правую части, используя формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.

1. Преобразуем левую часть уравнения:

$(x + y)(x - y) + (y + a)(y - a)$

Применим формулу разности квадратов к каждой паре скобок:

$(x^2 - y^2) + (y^2 - a^2)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - y^2 + y^2 - a^2 = x^2 - a^2$

2. Преобразуем правую часть уравнения:

$(x - a)(x + a)$

Применив ту же формулу, получаем:

$x^2 - a^2$

3. Сравним полученные выражения:

Левая часть: $x^2 - a^2$

Правая часть: $x^2 - a^2$

Так как левая и правая части тождественно равны, утверждение доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать это тождество, нужно преобразовать его левую часть. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член первого двучлена на каждый член второго (правило умножения многочленов).

1. Преобразуем левую часть:

$(x + a)(x + b) = x \cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b = x^2 + bx + ax + ab$

2. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, и вынесем $x$ за скобки:

$x^2 + (ax + bx) + ab = x^2 + (a + b)x + ab$

3. Сравним полученное выражение с правой частью исходного тождества:

$x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + (a + b)x + ab$

Левая и правая части равны, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулу разности квадратов $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ для каждого произведения.

1. Преобразуем левую часть выражения:

$(a - b)(a + b) - (a - c)(a + c) - (c - b)(c + b) = 0$

Применим формулу к каждой паре скобок:

$(a^2 - b^2) - (a^2 - c^2) - (c^2 - b^2)$

2. Раскроем скобки. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$a^2 - b^2 - a^2 + c^2 - c^2 + b^2$

3. Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (c^2 - c^2) = 0 + 0 + 0 = 0$

4. Сравним результат с правой частью:

$0 = 0$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Докажем тождество путем преобразования его левой части. Раскроем скобки, перемножив два двучлена.

1. Преобразуем левую часть:

$(m - a)(m - b) = m \cdot m + m \cdot (-b) + (-a) \cdot m + (-a) \cdot (-b)$

Выполним умножение:

$m^2 - bm - am + ab$

2. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $m$, и вынесем за скобки общий множитель $-m$ (или $m$, а затем минус перед скобкой):

$m^2 - (am + bm) + ab = m^2 - (a + b)m + ab$

3. Сравним полученное выражение с правой частью исходного тождества:

$m^2 - (a + b)m + ab = m^2 - (a + b)m + ab$

Левая и правая части равны, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

42.15 Докажите, что если $a + b = 9$, то $(a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) = 18.

42.15) Для доказательства данного утверждения необходимо упростить левую часть выражения $(a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1)$ и затем использовать заданное условие $a + b = 9$.

1. Раскроем скобки в каждом произведении, используя правило умножения многочленов:

$(a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1$

$(a - 1)(b - 1) = ab - a - b + 1$

2. Подставим полученные выражения в исходное выражение:

$(ab + a + b + 1) - (ab - a - b + 1)$

3. Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$ab + a + b + 1 - ab + a + b - 1$

4. Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(ab - ab) + (a + a) + (b + b) + (1 - 1) = 2a + 2b$

5. В полученном выражении $2a + 2b$ вынесем общий множитель $2$ за скобку:

$2(a + b)$

6. Теперь воспользуемся условием задачи, согласно которому $a + b = 9$. Подставим это значение в наше упрощённое выражение:

$2(a + b) = 2 \cdot 9 = 18$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна $18$, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

42.16 Докажите, что выражение

$(b + c - 2a)(c - b) + (c + a - 2b)(a - c) - (a + b - 2c)(a - b)$

тождественно равно нулю.

Для доказательства того, что данное выражение тождественно равно нулю, необходимо раскрыть все скобки и привести подобные слагаемые. Обозначим исходное выражение как $E$.

$E = (b + c - 2a)(c - b) + (c + a - 2b)(a - c) - (a + b - 2c)(a - b)$

Раскроем последовательно каждое из трех произведений в выражении. Для упрощения вычислений будем использовать формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Рассмотрим первое произведение: $(b + c - 2a)(c - b)$. Перегруппируем слагаемые в первой скобке следующим образом: $((c + b) - 2a)$. Тогда:

$((c + b) - 2a)(c - b) = (c+b)(c-b) - 2a(c-b) = (c^2 - b^2) - (2ac - 2ab) = c^2 - b^2 - 2ac + 2ab$.

Рассмотрим второе произведение: $(c + a - 2b)(a - c)$. Перегруппируем слагаемые как $((a + c) - 2b)$:

$((a + c) - 2b)(a - c) = (a+c)(a-c) - 2b(a-c) = (a^2 - c^2) - (2ab - 2bc) = a^2 - c^2 - 2ab + 2bc$.

Рассмотрим третье произведение с учетом знака минус: $-(a + b - 2c)(a - b)$. Сначала раскроем $(a + b - 2c)(a - b)$. Перегруппируем слагаемые как $((a + b) - 2c)$:

$((a + b) - 2c)(a - b) = (a+b)(a-b) - 2c(a-b) = (a^2 - b^2) - (2ac - 2bc) = a^2 - b^2 - 2ac + 2bc$.

Теперь умножим полученный результат на $-1$:

$-(a^2 - b^2 - 2ac + 2bc) = -a^2 + b^2 + 2ac - 2bc$.

Теперь сложим все три полученных выражения, чтобы найти значение $E$:

$E = (c^2 - b^2 - 2ac + 2ab) + (a^2 - c^2 - 2ab + 2bc) + (-a^2 + b^2 + 2ac - 2bc)$.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$E = c^2 - b^2 - 2ac + 2ab + a^2 - c^2 - 2ab + 2bc - a^2 + b^2 + 2ac - 2bc$.

Сгруппируем члены с одинаковыми переменными, чтобы наглядно показать их взаимное уничтожение:

$E = (a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (c^2 - c^2) + (2ab - 2ab) + (-2ac + 2ac) + (2bc - 2bc)$.

$E = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

Таким образом, исходное выражение тождественно равно нулю.

Ответ: Доказано, что выражение $(b + c - 2a)(c - b) + (c + a - 2b)(a - c) - (a + b - 2c)(a - b)$ тождественно равно нулю.