Номер 42.16, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

42.16 Докажите, что выражение

$(b + c - 2a)(c - b) + (c + a - 2b)(a - c) - (a + b - 2c)(a - b)$

тождественно равно нулю.

Для доказательства того, что данное выражение тождественно равно нулю, необходимо раскрыть все скобки и привести подобные слагаемые. Обозначим исходное выражение как $E$.

$E = (b + c - 2a)(c - b) + (c + a - 2b)(a - c) - (a + b - 2c)(a - b)$

Раскроем последовательно каждое из трех произведений в выражении. Для упрощения вычислений будем использовать формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Рассмотрим первое произведение: $(b + c - 2a)(c - b)$. Перегруппируем слагаемые в первой скобке следующим образом: $((c + b) - 2a)$. Тогда:

$((c + b) - 2a)(c - b) = (c+b)(c-b) - 2a(c-b) = (c^2 - b^2) - (2ac - 2ab) = c^2 - b^2 - 2ac + 2ab$.

Рассмотрим второе произведение: $(c + a - 2b)(a - c)$. Перегруппируем слагаемые как $((a + c) - 2b)$:

$((a + c) - 2b)(a - c) = (a+c)(a-c) - 2b(a-c) = (a^2 - c^2) - (2ab - 2bc) = a^2 - c^2 - 2ab + 2bc$.

Рассмотрим третье произведение с учетом знака минус: $-(a + b - 2c)(a - b)$. Сначала раскроем $(a + b - 2c)(a - b)$. Перегруппируем слагаемые как $((a + b) - 2c)$:

$((a + b) - 2c)(a - b) = (a+b)(a-b) - 2c(a-b) = (a^2 - b^2) - (2ac - 2bc) = a^2 - b^2 - 2ac + 2bc$.

Теперь умножим полученный результат на $-1$:

$-(a^2 - b^2 - 2ac + 2bc) = -a^2 + b^2 + 2ac - 2bc$.

Теперь сложим все три полученных выражения, чтобы найти значение $E$:

$E = (c^2 - b^2 - 2ac + 2ab) + (a^2 - c^2 - 2ab + 2bc) + (-a^2 + b^2 + 2ac - 2bc)$.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$E = c^2 - b^2 - 2ac + 2ab + a^2 - c^2 - 2ab + 2bc - a^2 + b^2 + 2ac - 2bc$.

Сгруппируем члены с одинаковыми переменными, чтобы наглядно показать их взаимное уничтожение:

$E = (a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (c^2 - c^2) + (2ab - 2ab) + (-2ac + 2ac) + (2bc - 2bc)$.

$E = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

Таким образом, исходное выражение тождественно равно нулю.

Ответ: Доказано, что выражение $(b + c - 2a)(c - b) + (c + a - 2b)(a - c) - (a + b - 2c)(a - b)$ тождественно равно нулю.