Номер 42.19, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

42.19 a) $ \frac{x^3 + y^3}{x + y} - xy = (x - y)^2 $

б) $ \frac{a^3 - 8}{a - 2} + 2a = (a + 2)^2 $

Для доказательства тождеств преобразуем их левые части и покажем, что они равны правым частям.

а)

Рассмотрим левую часть тождества: $\frac{x^3 + y^3}{x + y} - xy$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим это выражение в числитель дроби и выполним преобразования:

$\frac{x^3 + y^3}{x + y} - xy = \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x+y} - xy$

Сократим дробь на $(x+y)$, при условии, что $x+y \neq 0$:

$(x^2 - xy + y^2) - xy = x^2 - xy + y^2 - xy = x^2 - 2xy + y^2$

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $(x - y)^2 = (x - y)^2$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Рассмотрим левую часть тождества: $\frac{a^3 - 8}{a - 2} + 2a$.

Воспользуемся формулой разности кубов, представив 8 как $2^3$: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае: $a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a-2)(a^2 + 2a + 4)$.

Подставим это выражение в числитель дроби и выполним преобразования:

$\frac{a^3 - 8}{a - 2} + 2a = \frac{(a-2)(a^2 + 2a + 4)}{a-2} + 2a$

Сократим дробь на $(a-2)$, при условии, что $a-2 \neq 0$:

$(a^2 + 2a + 4) + 2a = a^2 + 2a + 4 + 2a = a^2 + 4a + 4$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a+2)^2$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $(a+2)^2 = (a+2)^2$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.