Номер 42.18, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

42.18 а) $(a - 1)^3 - 4(a - 1) = (a - 1)(a + 1)(a - 3);$

б) $(x^2 + 1)^2 - 4x^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2;$

в) $(a + 1)^3 - (a + 1) = a(a + 1)(a + 2);$

г) $4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2 = (a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)(b + c - a).$

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a-1)^3 - 4(a-1) = (a-1)((a-1)^2 - 4)$

Выражение в скобках $((a-1)^2 - 4)$ является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a-1$ и $y=2$:

$(a-1)((a-1)^2 - 2^2) = (a-1)((a-1)-2)((a-1)+2)$

Упростим выражения в последних двух скобках:

$(a-1)(a-3)(a+1)$

Переставим множители для соответствия правой части тождества:

$(a-1)(a+1)(a-3)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(a-1)^3 - 4(a-1) = (a-1)(a+1)(a-3)$

б)

Преобразуем левую часть тождества. Заметим, что выражение представляет собой разность квадратов, так как $4x^2 = (2x)^2$:

$(x^2+1)^2 - 4x^2 = (x^2+1)^2 - (2x)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=x^2+1$ и $B=2x$:

$((x^2+1) - 2x)((x^2+1) + 2x)$

Перегруппируем слагаемые внутри скобок, чтобы получить полные квадраты:

$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$

Каждое из выражений в скобках является формулой квадрата суммы или разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

Таким образом, левая часть равна:

$(x-1)^2(x+1)^2$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(x^2+1)^2 - 4x^2 = (x-1)^2(x+1)^2$

в)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Вынесем общий множитель $(a+1)$ за скобки:

$(a+1)^3 - (a+1) = (a+1)((a+1)^2 - 1)$

Выражение в скобках $((a+1)^2 - 1)$ является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a+1$ и $y=1$:

$(a+1)((a+1)-1)((a+1)+1)$

Упростим выражения во вторых и третьих скобках:

$(a+1)(a)(a+2)$

Переставим множители для соответствия правой части:

$a(a+1)(a+2)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(a+1)^3 - (a+1) = a(a+1)(a+2)$

г)

Преобразуем левую часть. Это выражение является разностью квадратов, так как $4b^2c^2 = (2bc)^2$:

$4b^2c^2 - (b^2+c^2-a^2)^2 = (2bc)^2 - (b^2+c^2-a^2)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=2bc$ и $B=b^2+c^2-a^2$:

$(2bc - (b^2+c^2-a^2))(2bc + (b^2+c^2-a^2))$

Раскроем скобки внутри каждого множителя:

$(2bc - b^2 - c^2 + a^2)(2bc + b^2 + c^2 - a^2)$

Преобразуем каждый множитель отдельно. В первом множителе сгруппируем слагаемые:

$a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - (b-c)^2$

Это снова разность квадратов, которую можно разложить на множители:

$(a - (b-c))(a + (b-c)) = (a-b+c)(a+b-c)$

Во втором множителе сгруппируем слагаемые иначе:

$(b^2 + 2bc + c^2) - a^2 = (b+c)^2 - a^2$

Это также разность квадратов:

$((b+c)-a)((b+c)+a) = (b+c-a)(a+b+c)$

Теперь объединим все полученные множители:

$(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)$

Переставим множители, чтобы они соответствовали правой части тождества:

$(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $4b^2c^2 - (b^2+c^2-a^2)^2 = (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)$