Номер 42.21, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

42.21 а) $\frac{x^3 - 2x^2}{x} = 0;$

б) $\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 0;$

В) $\frac{x(x - 1)^3}{x^2 - 2x + 1} = 0;$

Г) $\frac{(9x^2 - 6x + 1)(x + 2)}{3x - 1} = 0.$

а) Дано уравнение $\frac{x^3 - 2x^2}{x} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^3 - 2x^2 = 0, \\ x \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, вынеся общий множитель за скобки:

$x^2(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \neq 0$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию ($2 \neq 0$).

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $2$.

б) Дано уравнение $\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 0$.

Уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 + 2x + 1 = 0, \\ x + 1 \neq 0. \end{cases}$

Из второго условия находим область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -1$.

Решим первое уравнение системы. Выражение в числителе является полным квадратом суммы:

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

Тогда уравнение принимает вид:

$(x + 1)^2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Сравним полученный корень с ОДЗ. Корень $x = -1$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

в) Дано уравнение $\frac{x(x - 1)^3}{x^2 - 2x + 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x(x - 1)^3 = 0, \\ x^2 - 2x + 1 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$x(x - 1)^3 = 0$

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

Теперь рассмотрим условие для знаменателя (ОДЗ). Выражение в знаменателе является полным квадратом разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

Значит, условие $x^2 - 2x + 1 \neq 0$ равносильно условию $(x-1)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Проверим найденные корни. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq 1$).

Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Таким образом, единственным решением является $x=0$.

Ответ: $0$.

г) Дано уравнение $\frac{(9x^2 - 6x + 1)(x + 2)}{3x - 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (9x^2 - 6x + 1)(x + 2) = 0, \\ 3x - 1 \neq 0. \end{cases}$

Из второго условия найдем ОДЗ: $3x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{3}$.

Решим первое уравнение системы. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$9x^2 - 6x + 1 = 0$ или $x + 2 = 0$

Рассмотрим первое уравнение: $9x^2 - 6x + 1 = 0$. Это формула квадрата разности:

$(3x - 1)^2 = 0$

$3x - 1 = 0$

$x_1 = \frac{1}{3}$

Рассмотрим второе уравнение:

$x + 2 = 0$

$x_2 = -2$

Мы получили два потенциальных корня: $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -2$.

Проверим их на соответствие ОДЗ ($x \neq \frac{1}{3}$).

Корень $x_1 = \frac{1}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ ($-2 \neq \frac{1}{3}$).

Следовательно, уравнение имеет только один корень.

Ответ: $-2$.