Номер 42.14, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

42.14 a) $(x + y)(x - y) + (y + a)(y - a) = (x - a)(x + a);$

б) $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab;$`

в) $(a - b)(a + b) - (a - c)(a + c) - (c - b)(c + b) = 0;$`

г) $(m - a)(m - b) = m^2 - (a + b)m + ab.$`

а)

Для того чтобы доказать данное тождество, необходимо преобразовать его левую и правую части, используя формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.

1. Преобразуем левую часть уравнения:

$(x + y)(x - y) + (y + a)(y - a)$

Применим формулу разности квадратов к каждой паре скобок:

$(x^2 - y^2) + (y^2 - a^2)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - y^2 + y^2 - a^2 = x^2 - a^2$

2. Преобразуем правую часть уравнения:

$(x - a)(x + a)$

Применив ту же формулу, получаем:

$x^2 - a^2$

3. Сравним полученные выражения:

Левая часть: $x^2 - a^2$

Правая часть: $x^2 - a^2$

Так как левая и правая части тождественно равны, утверждение доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать это тождество, нужно преобразовать его левую часть. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член первого двучлена на каждый член второго (правило умножения многочленов).

1. Преобразуем левую часть:

$(x + a)(x + b) = x \cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b = x^2 + bx + ax + ab$

2. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, и вынесем $x$ за скобки:

$x^2 + (ax + bx) + ab = x^2 + (a + b)x + ab$

3. Сравним полученное выражение с правой частью исходного тождества:

$x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + (a + b)x + ab$

Левая и правая части равны, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулу разности квадратов $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ для каждого произведения.

1. Преобразуем левую часть выражения:

$(a - b)(a + b) - (a - c)(a + c) - (c - b)(c + b) = 0$

Применим формулу к каждой паре скобок:

$(a^2 - b^2) - (a^2 - c^2) - (c^2 - b^2)$

2. Раскроем скобки. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$a^2 - b^2 - a^2 + c^2 - c^2 + b^2$

3. Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (c^2 - c^2) = 0 + 0 + 0 = 0$

4. Сравним результат с правой частью:

$0 = 0$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Докажем тождество путем преобразования его левой части. Раскроем скобки, перемножив два двучлена.

1. Преобразуем левую часть:

$(m - a)(m - b) = m \cdot m + m \cdot (-b) + (-a) \cdot m + (-a) \cdot (-b)$

Выполним умножение:

$m^2 - bm - am + ab$

2. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $m$, и вынесем за скобки общий множитель $-m$ (или $m$, а затем минус перед скобкой):

$m^2 - (am + bm) + ab = m^2 - (a + b)m + ab$

3. Сравним полученное выражение с правой частью исходного тождества:

$m^2 - (a + b)m + ab = m^2 - (a + b)m + ab$

Левая и правая части равны, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.