Номер 42.10, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 42. Тождества - номер 42.10, страница 184.

Условие.

42.10 a) $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$;

б) $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$;

в) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$;

г) $(a + b)^2 - 2b(a + b) = a^2 - b^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:
$(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(a^2 + b^2)$
В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Тождество доказано.
Ответ: $2(a^2 + b^2) = 2(a^2 + b^2)$.

б) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Снова используем формулы квадрата суммы и квадрата разности.
$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$
Раскроем скобки. Важно учесть, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:
$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 0 + 4ab + 0 = 4ab$
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $4ab = 4ab$.

в) Чтобы доказать это тождество, преобразуем его правую часть. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2$
В результате преобразования правой части мы получили левую часть. Тождество доказано.
Ответ: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$.

г) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы для первого слагаемого и распределительный закон умножения для второго.
$(a + b)^2 - 2b(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2) - (2b \cdot a + 2b \cdot b) = (a^2 + 2ab + b^2) - (2ab + 2b^2)$
Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab + b^2 - 2ab - 2b^2 = a^2 + (2ab - 2ab) + (b^2 - 2b^2) = a^2 - b^2$
Левая часть тождества равна правой, которая является формулой разности квадратов. Тождество доказано.
Ответ: $a^2 - b^2 = a^2 - b^2$.